Тема 2. Динамика кристаллической решетки. Теплоемкость решетки.

Тепловые и механические свойства материалов, применяемых в радиоэлектронике, определяются движением атомов кристаллов за счет теплового или механического возмущения, описание которого представляет довольно сложную задачу. В предлагаемом разделе рассматриваются задачи с использованием различных моделей – приближений: модель изолированного атома, модель Дебая, одномерная цепочка атомов. Основными физическими задачами являются задачи по определению скорости звука, теплоемкости и спектра фононов радиоматериалов. Для решения этих задач студенты могут воспользоваться программой MCAD, приведенной в приложении П4.

Задача 2.1. Определить частоту колебания атомов для кристалла меди, используя модель изолированного атома.

Простейшей моделью, описывающей движение атома, является модель изолированного атома, в которой атом рассматривается в виде точечной массы m, закрепленной на пружинных связях относительно неподвижных опор (соседних атомов).

В гармоническом приближении в случае изотропной кубической решетки для потенциальной энергии V(u) как функция малого смещения атома u из положения равновесия можно записать

где β – параметр упругости материала (жесткость связей). Соответствующая сила, противостоящая смещению атома из положения равновесия:

Смещение атома из положения равновесия в зависимости от времени t

, (2.1)

где ω₀ – частота собственных колебаний атома массой m.

Параметр упругости материала в рамках закона Гука (механическое напряжение пропорционально относительной деформации) определяется выражением:

β = 4aY (2.2)

где a – параметр решетки, Y – модуль Юнга.

Для кристалла меди из приложения находим значение необходимых параметров Используя соотношения (2.1) и (2.2) находим для частоты колебаний атомов при заданных допущениях значение:

Задача 2.2. Определить скорость звука в кристалле меди, используя модель Дебая для описания спектра акустических фононов.

Для изотропных кристаллов при описании спектра акустических фононов можно воспользоваться решением, полученным для одномерной цепочки одинаковых масс m, связанных упругими связями с ближайшими соседями.

Дисперсионное уравнение, связывающее частоту колебаний ω и волновой вектор k (рис. 2.1.а), имеет вид:

, (2.3)

где k = 2π/λ; λ – длина волны упругих смещений атома, a – постоянная решетки.

Область значений волнового вектора, для которой не возникает неоднозначности дисперсной кривой ω(k), называется зоной Бриллюэна.

Рис 2.1.а Рис 2.1.б

Для одномерной цепочки из атомов 2-х сортов с массами m и M (M>m) дисперсионное уравнение

(2.4)

имеет две ветви (рис. 2.1,б). Нижняя ветвь (минус перед корнем в (2.4)) соответствует акустическим колебаниям, верхняя ветвь (плюс перед корнем в (2.4)) - оптическим колебаниям.

Для цепочки из N атомов число допустимых значений волнового вектора k_S в зоне Бриллюэна:

Полная сумма волн с различными k_S, описывающая движение n-атома в составе цепочки:

. (2.5)

Каждая из бегущих волн по цепочке (2.5) предоставляет собой независимый осциллятор с частотой колебания ω_S и амплитудой A_S, независящей от амплитуды других волн. Ортогональные волны цепочки называются нормальными колебаниями.

Квант нормальных колебаний кристаллической решетки – фонон, квазичастица с энергией и квазиимпульсом (h – постоянная Планка, ).

В модели Дебая вместо сложной зависимости ω(k) (2.3), (2.4) принимается линейная аппроксимация (см. рис. 2.1.б)

ω = V_звk, (2.6)

что хорошо описывает зависимость ω(k) на низких (звуковых частотах).

Скорость звука V_зв в этом случае находится из соотношения (2.6) по известной максимальной частоте акустических фононов – частоте Дебая (ω_max = ω_D) и соответствующему максимальному значению волнового вектора , при этом

, .

Частоту Дебая ω_D находят обычно по известной характеристической температуре Дебая из соотношения:

.

Окончательно для скорости звука (скорости акустических фонов по модели Дебая) получаем

. (2.7)

Используя соотношения (2.7) и данные для меди находим:

м/с

Задача 2.3. Определить число оптических фононов в кремнии при T = 300 К, энергию возбуждения оптических фононов считать равной энергии Дебая ( ).

Среднее число фононов с энергией определяется распределением Планка:

,

где – постоянная Больцмана, T – температура кристаллической решетки.

При (случай высоких температур)

.

Для нашего случая среднее число фононов с энергией

При T_D>T имеем , т.е. оптические фононы в Si при 300 K не возбуждаются.

Задача 2.4. Найти векторы обратной решетки для ромбоэдрического кристалла кальция, если a = 5.36 Å, α = 46°.

Для описания свойств волнового вектора служит обратное пространство (или пространство волнового вектора). Связь обратного пространства (обратной решетки) с конфигурационным пространством (прямой решеткой) осуществляется соотношениями

(2.8)

где – базисные вектора обратной решетки, – базисные вектора прямой решетки, V – объем элементарной ячейки.

В ромбоэдрической ячейке a = b = c, α = β = γ. Следовательно, согласно (2.8), a* = b* = c*, α* = β* = γ* (углы между базисными векторами обратной решетки).

Объем элементарной ячейки

(Å)³,

(Å)^–1,

Задача 2.5. Определить теплоемкость кристалла меди, погруженного в криостат с жидким гелием.

Теплоемкость твердых тел на высоких температурах описывается законом Дюлонга–Пти (классическая модель):

(2.9)

где R – универсальная газовая постоянная.

Согласно модели Дебая теплоемкость решетки, в которой могут распространяться колебания без дисперсии с частотами от 0 до ω_D:

где – температура Дебая; ω_D – частота Дебая; соответст­вующая волне минимальной длины ( ), распространяющейся по решетке; .

Случай высоких температур ( ) соответствует (2.9). В случае низких температур ( )

. (2.10)

Температура Дебая меди много больше заданной температуры эксперимента . Следовательно, для области низких температур справедлива формула определения теплоемкости (2.10)