4.2 Примеры решения типовых задач
Задача
4.1
Определить
спектральную плотность
,
АЧХ
,
ФЧХ
прямоугольного
видеоимпульса с амплитудой U
и длительностью tu
(см. рисунок 4.1, а, б, в).
а) б) в)
Рисунок 4.1
Решение: Спектр определяют, используя прямое преобразование Фурье
а) для видеоимпульса (см. рисунок 4.1,а):
,
(4.9)
АЧХ:
;
ФЧХ:
0
,если
и
,
если
.
б) для видеоимпульса (см. рисунок 4.1,б), применяя теорему запаздывания, получают:
АЧХ:
,
ФЧХ
,
если
и
,
если
.
в) для видеоимпульса (см. рисунок 4.1,в), применяя теорему запаздывания, получают:
АЧХ:
;
ФЧХ:
если
и
,
если
.
Графики АЧХ (см. рисунок 4.2) для видеоимпульсов (см. рисунок 4.1, а, б, в), ФЧХ (см. рисунки 4.3; 4.4) для видеоимпульсов (см. рисунок 4.1, а, б) с амплитудой U=20B и длительностью импульса tu=0,004c построены в среде Mathcad.
Рисунок 4.2 Рисунок 4.3
Рисунок 4.4
Задача
4.2
На
входе электрической цепи (см. рисунок
4.5), параметры которой
,
действует прямоугольный импульс
амплитудой
и
длительностью
(см.
рисунок 4.6).
Определить
комплексную передаточную функцию по
напряжению
и
спектральную плотность напряжения
.
Рисунок 4.5 Рисунок 4.6 Рисунок 4.7
Решение: 1) Определение спектральной плотности входного напряжения.
Спектр
входного напряжения найден в задаче
4.1:
,
АЧХ:
;
ФЧХ:
0
,если
и
,
если
.
2)
Определение комплексной передаточной
функции по напряжению
Комплексную
передаточную функцию находят по формуле:
.
Будем считать, что на вход цепи подано
синусоидальное напряжение, комплексное
действующее значение которого
.
Применяя комплексный метод расчёта,
определяют комплексное действующее
значение напряжение
(см.
рисунок 4.7) и
:
(4.10)
(4.11)
АЧХ:
ФЧХ:
3) Определение спектральной плотности по спектру входного напряжения и соответствующей комплексной функции передачи . Спектральную плотность находят по формуле:
(4.12)
АЧХ:
ФЧХ:
,
если
и
,
если
.
Подставляют
числовые значения:
,
,
если
и
если
.
4)
Графики АЧХ:
,
(см.
рисунки 4.8, 4.10, 4.12) и ФЧХ
,
(см.
рисунки 4.9, 4.11, 4.13) построены в среде
Mathcad.
Рисунок 4.8 Рисунок 4.9
Рисунок 4.10 Рисунок 4.11
Рисунок 4.12 Рисунок 4.13
Задача
4.3
На
входе электрической цепи (см. рисунок
4.15), параметры которой
,
действует импульс напряжения
(см.
рисунок 4.14) c
и
α=900
c-1.
Определить:
1) спектральную плотность импульса напряжения , АЧХ,ФЧХ;
2)
комплексную передаточную функцию по
напряжению
,
АЧХ,ФЧХ;
3)
спектральную плотность реакции цепи
,АЧХ,ФЧХ;
4) реакцию цепи .
Рисунок 4.14
Рисунок 4.15 Рисунок 4.16
Решение: а) Определение спектральной плотности входного импульса напряжения .
Спектральную плотность импульса напряжения определяют с помощью прямого преобразования Фурье:
(4.13)
АЧХ:
ФЧХ:
(4.14)
2)
Определение комплексной передаточной
функции по напряжению
находят
по формуле:
.
Будем считать, что на вход цепи подано
синусоидальное напряжение, комплексное
действующее значение которого
.
Применяя комплексный метод расчёта
(см. рисунок 4.16), определяют
,
АЧХ
,
ФЧХ
:
(4.15)
,
3)
Определение спектральной плотности
по
спектру входного напряжения
и
соответствующей комплексной функции
передачи
.
Спектральную плотность реакции цепи
вычисляют
по формуле
:
(4.16)
Графики
АЧХ:
,
(см.
рисунки 4.17, 4.19 4.21) и ФЧХ
,
(см.
рисунки 4.18, 4.20, 4.22) построены в среде
Mathcad.
Рисунок 4.17 Рисунок 4.18
Рисунок 4.19 Рисунок 4.20
Рисунок 4.21 Рисунок 4.22
4) Определение реакции цепи .
Реакцию цепи определяют по соответствующей спектральной плотности по теореме разложения. В выражении (4.15) заменяют на р:
(4.17)
где
,
Находят
корни характеристического уравнения
:
Реакцию цепи определяют по теореме разложения:
(4.18)
где
Рассчитывают:
Подставляют
полученные значения
в
выражение (4.18) и вычисляют реакцию цепи
:
.
Ток в ветви с ёмкостью находят по формуле:
Графики , (см. рисунки 4.23, 4.24) построены в среде Mathcad .
Рисунок 4.23 Рисунок 4.24