2 Операторный метод расчета переходных процессов

 

2.1 Основные теоретические сведения

 

Преобразования Лапласа. Операторный метод расчёта переходных процессов широко применяется в теории электрических цепей для решения линейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений

Суть операторного метода заключается в том, что функции f(t) действительной переменной t сопоставляется функция  комплексной переменной . Это сопоставление осуществляется с помощью прямого преобразования Лапласа:

                                                     .                                       (2.1)

Функция f(t) называется оригиналом, функция  называется изображение. Это сопоставление обозначается:    и  

         Из выражения (2.1) следует, что изображение постоянной  равно: . Изображения производных:    где  − начальные значения функции и её производной. При нулевых начальных значениях :    

         Изображение интеграла: .

         Таким образом изображения производных и интегралов от оригинала выражаются алгебраическими функциями от изображения и от начальных значений самой функции и её производных. Отсюда следует, что система интегро-дифференциальных уравнений относительно оригиналов заменяется системой алгебраических уравнений относительно их изображений. При этом нет необходимости вычислять постоянные интегрирования.

 

 

Изображения напряжений на пассивных элементах и их эквивалентные операторные схемы замещения.

 

а) Резистивное сопротивление.

                                       

                             

  

б) Индуктивность

                 

в) Ёмкость.

;         ;

  

Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме. Эквивалентные операторные схемы.

Для исходной схемы после коммутации (см. рисунок 2.1) запишем второй уравнение по второму закону Кирхгофа в дифференциальной форме:

                                                .                                      (2.2)

         Перейдём от оригинала к изображению, получим второй закон Кирхгофа в операторной форме:

                                                           (2.3)

где I(p) - изображение тока; Е(р) - изображение источника ЭДС е(t);

,  - внутренние (расчетные) ЭДС, показывающие, что в магнитном поле катушки и в электрическом поле конденсатора в момент коммутации была запасена энергия. ЭДС  совпадает с положительным направлением тока в ветви, ЭДС  противоположно положительному направлению тока в ветви (здесь - ток в индуктивности).

 - операторное сопротивление,  - операторная проводимость.

         Из уравнения (2.3) получим закон Ома в операторной форме:

                                             .                             (2.4)

 

         Законы Кирхгофа в операторной форме.

         Система интегро-дифференциальных уравнений Кирхгофа относительно

оригиналов:  заменяется системой

алгебраических уравнений относительно их изображений:

                    (2.5)

         Чтобы сразу записывать уравнения по законам Кирхгофа, а также уравнения расчета по МКТ, МУП, МЭГ и т.п, составляют эквивалентную операторную схему. (см. рисунок 2.2).

       Рисунок 2.1                                                      Рисунок 2.2

 

Определение оригинала по изображению.

         Оригинал  можно определить по его изображению , используя таблицы, обратное преобразование Лапласа, теорему разложения.

 

     Таблица 2.1-Теорема разложения

Изображение имеет вид рациональной дроби:   где m<n,   - характеристическое уравнение. Оригинал определяется по теореме разложения.
по вид корней характеристического уравнения	Теорема разложения
простые вещественные корни характеристического уравнения	где
знаменатель имеет один нулевой корень:
1. характеристическое уравнение  имеет простые вещественные корни  и комплексные сопряженные корни .	1.

        

         Продолжение таблицы 2.1

2. , - комплексные сопряженные корни уравнения

2.

  

         Порядок расчета переходных процессов операторным методом

         1) По законам коммутации определяют независимые начальные условия:

          

         2) Составляют эквивалентную операторную схему. Ненулевые начальные условия учитываются введением внутренних (расчетных) эдс (или источников тока): в ветвях с индуктивностью вводится ЭДС , в ветвях с емкостью вводится ЭДС  

         3) Изображения токов и напряжений рассчитывают по операторной схеме известными методами (законы Ома и Кирхгофа, МКТ, МУП, МЭГ и т.п.).

         4) Оригинал определяют по теореме разложения, по таблице оригиналов и изображений или с помощью обратного преобразования Лапласа.