МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН
НЕКОММЕРЧЕСКОЕ АКЦИОНЕРНОЕ ОБЩЕСТВО
“АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ”
З.И. Жолдыбаева
Е.Х. Зуслина
Теория электрических цепей 2
Примеры расчета установившихся и переходных режимов
в электрических цепях с сосредоточенными и распределенными параметрами
Учебное пособие
Алматы 2011
УДК 621.3 (01)
ББК 31. 221 Я73
Ж 79. Учебное пособие. З.И. Жолдыбаева., Е.Х. Зуслина
Примеры расчета установившихся и переходных режимов в электрических цепях с сосредоточенными и распределенными параметрами
АУЭС. Алматы, 2010. - 78 с.
I SBN 9965-850-35-6
В пособии представлены типовые задачи с подробными решениями и пояснениями, примеры применения основных методов расчета электрических цепей в установившемся и переходных режимах.
Предназначается для студентов специальностей 5В070400 – «Вычислительная техника и программное обеспечение».
Табл.1, ил.114, библиогр. - 8 назв.
ББК 31. 221 Я73
РЕЦЕНЗЕНТЫ: КазНТУ канд. техн. наук. доц. Иманбекова Т.Ж.,
АУЭС канд. тех. наук, проф. Г.С.Казиева
Печатается по плану издания Министерства образования и науки Республики Казахстан на 2010 г.
Isbn 9965-850-35-6
©НАО «Алматинский университет энергетики и связи», 2010г.
Введение
Теории электрических цепей являются базовым курсом, на который опираются профилирующие дисциплины радиотехнических специальностей, специальностей по вычислительной технике и информационным системам. В соответствии с новыми учебными планами курс ТЭЦ изучается в течение двух семестров. При этом существенно увеличен объем самостоятельной работы студентов (до 60% от общего числа часов).
Цель настоящего учебного пособия состоит в оказании помощи студентам в их самостоятельной работе. Поэтому все задачи даны с подробными решениями, пояснениями, методическими указаниями, приведены основные положения теории и необходимые расчетные формулы.
В пособии рассмотрены различные методы расчёта переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами: классический, операторный, спектральный методы, интеграл Дюамеля. Показаны методы расчёта различных режимов в цепях с распределёнными параметрами и в нелинейных цепях постоянного тока.
1 Классический метод расчета переходных процессов
1.1 Основные теоретические сведения
В работе электрических цепей различают два режима процессов: установившийся и переходный.
Установившимся режим – это режим, при котором токи и напряжения либо не зависят от времени, либо являются периодическими функциями времени в зависимости от вида приложенного воздействия.
Переходным
процессом называют
электромагнитный процесс, возникающий
в цепи, содержащей накопители энергии
(индуктивности и ёмкости) при переходе
от одного
установившегося режима к другому.
Возникновение
переходных процессов в цепях с энергоемкими
элементами обусловлено тем, что энергии
электрических полей конденсаторов
и
магнитных полей индуктивных катушек
вследствие
закона непрерывности изменения энергии
не могут изменяться скачком.
Переходный
процесс
возникает в электрических цепях, при
различного рода воздействиях (подключении
к цепи или отключении от цепи источников
электрической энергии, а также при
скачкообразном изменении схемы цепи
или параметров входящих в нее элементов),
которые называются коммутациями.
Коммутация осуществляется с помощью
идеального ключа: сопротивление ключа
в разомкнутом положении равно
,
в замкнутом – 0.
Будем
считать, что коммутация происходит
мгновенно
.
Начало отсчёта времени
совмещается
с моментом коммутации.
Законы коммутации:
1)
Ток в индуктивности непосредственно
после
коммутации
сохраняет
значение, которое он имел непосредственно
до
коммутации
:
(1.1)
2) Напряжение на ёмкости непосредственно после коммутации
сохраняет
значение, которое оно имело непосредственно
до
коммутации
:
(1.2)
Начальные условия − значения токов и напряжений при t = 0.
Независимые
начальные условия − это
значения тока в индуктивности
и
напряжения на ёмкости
в
момент коммутации
,
которые определяются на основании
законов коммутации путем расчета
установившегося режима в цепи до
коммутации.
Зависимые начальные условия − это
значения токов и напряжений и их
производных в момент коммутации
,
которые в момент коммутации могут
изменяться скачком, например:
и
т.п. Они определяются по схеме, образованной
после коммутации, по законам Кирхгофа
с учетом законов коммутации. Пример дан
в задаче 1.1.
При анализе переходных процессов в электрических цепях классическим методом составляется система уравнений для мгновенных значений токов и напряжений по законам Кирхгофа или с помощью других методов расчета цепей, например метода контурных токов или метода узловых потенциалов. При этом используются соотношения между токами и напряжениями:
(1.3)
В полученной таким образом системе уравнений выбирается основная переменная (ток или напряжение), и исключением других переменных из системы уравнений получают одно дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, содержащее только основную переменную. Полученное, в общем случае, линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, имеет вид:
(1.4)
где
−
постоянные коэффициенты, зависящие от
схемы цепи и её параметров;
−
выходная величина, основная переменная
(ток
или
напряжение
);
−
функция, описывающая характер воздействия
на цепь.
Порядок высшей производной дифференциального уравнения определяет порядок цепи. Если этот порядок будет первым, то и цепь называют цепью первого порядка, эти цепи содержат только однотипные реактивные элементы (ёмкости или индуктивности. Цепь, содержащая два независимых накопителя энергии (и ёмкость и индуктивность), описывается уравнением второго порядка и называется цепью второго порядка.
Решение
уравнения (1.4) ищется в виде:
(1.5)
где
−
принуждённая составляющая, являющаяся
частным решением уравнения (1.4), и
определяется путём расчёта установившегося
режима в цепи после коммутации;
−
свободная составляющая, являющаяся
общим решением однородного дифференциального
уравнения:
.
(1.6)
Общая
формула свободной составляющей
имеет
вид:
(1.7)
где
-
постоянная интегрирования;
-
корни характеристического уравнения
.
Выражение свободной составляющей зависит от вида корней характеристического уравнения. Для цепи второго порядка выражение свободной составляющей имеет вид:
при
действительных и различных корнях
<
0 и
<
0
,
при действительных и равных корнях = =р < 0
,
при
комплексно-сопряжённых корнях
(α
– коэффициент затухания, ωСВ
– частота свободных колебаний)
где А и ψ постоянные интегрирования;
или
Характеристическое
уравнение.
Методы составления характеристического
уравнения: 1) по однородному дифференциальному
уравнению, например, для уравнения
(1.6), характеристическое уравнение имеет
вид:
;
2) методом главного определителя суть
которого состоит в следующем:
записывают
определитель матрицы комплексных
контурных сопротивлений (узловых
проводимостей) и, заменив
на
р, приравнивают его к нулю; 3) методом
входного сопротивления: а) записывают
входное комплексное сопротивление
цепи после коммутации относительно
любой ветви, кроме ветви с идеальным
источником тока; б) в формуле
заменяют
на
р; в) полученное выражение
приравнивают
к нулю:
.Пример
дан в задаче 1.2.
Постоянные
интегрирования.
Особенностью
классического метода является
необходимость
определения постоянных
интегрирования, число которых зависит
от порядка цепи. Постоянные интегрирования
определяются по значениям искомой
выходная величины
и
её производных, рассматриваемых в момент
:
а)
для цепи первого порядка постоянная
интегрирования определяется из уравнения:
;
б)
для цепи второго порядка постоянные
интегрирования определяются по начальным
значениям
.
Корни
действительные и различные: 
Корни
комплексно-сопряжённые: 
Порядок расчета переходных процессов классическим методом:
а) определяют независимые начальные условия и ;
б) записывают дифференциальные уравнения по законам Кирхгофа, решение которых представляют в виде: ;
в) определяют принуждённую составляющую ;
г) определяют : составляют характеристическое уравнение, вычисляют его корни и находят постоянные интегрирования,
д)
построение графика
