Двойственность задач линейного программирования. Правило построения двойственной задачи

Теория двойственности представляет собой весьма важное, как с чисто теоретической, так и с практической точки зрения, направление математического программирования. Основной идеей теории двойственности является то, что для каждой задачи линейного программирования (ЛП) существует некоторая задача ЛП, решение которой тесно связано с решением прямой. Между решениями прямой и двойственной задач имеется ряд важных соотношений, полезных при исследовании общих свойств оптимального решения задач ЛП и проверке оптимальности допустимого решения.  Рассмотрим задачу: найти min f(x), x Є Rⁿ (1)  при ограничениях g_j( x)≤ 0, j = 1, m; m<n.                   Эту задачу называют прямой. Существует связанная с ней задача максимизации, называемая  двойственной:  L( x,λ) = max  , (2)  где  L(x,λ) – функция Лагранжа.  Понятие двойственности устанавливает определенные отношения между решениями прямой и двойственной задач.  Определение. Две экстремальные задачи называются эквивалентными, если множества их решения совпадают, либо обе задачи не имеют решений.

Правила построения задачи, двойственной по отношению к ЗЛП, наглядно представлены схемой, показанной на рис. 1.9.

Как следует из приведенной схемы при переходе от прямой задачи ЛП к двойственной:

1. Тип оптимума меняется на противоположный, т. е. максимум на минимум, и наоборот.

2. Вектор коэффициентов целевой функции с и столбец ограничений b меняются местами.

3. Матрица ограничений задачи A транспонируется.

4. Множество индексов переменных, на которые наложено условие неотрицательности в прямой задаче (например, х_j ≥ 0 или u_j ≥ 0), определяют номера ограничений, имеющих форму неравенств в двойственной задаче (a^ju ≥ с_j или a_ix ≤ b_j).

5. Множество номеров ограничений, имеющих форму неравенств в прямой задаче (например, a_ix≤ b_j или a^ju ≥ с_j), определяют множество индексов переменных, на которые накладывается условие неотрицательности, в двойственной задаче (u_i ≥ 0 или x_i ≥ 0).

В матричной форме пара двойственных общих задач линейного программирования может быть кратко записана как:

Двойственный симплекс-метод

Двойственный симплексный метод основан на теории двойственности и используется для решения задач линейного программирования, свободные члены которых b_i могут принимать любые значения, а система офаничений задана неравенствами смысла «≤», «≥» или равенством «=».  В двойственном симплексном методе оптимальный план получается в результате движения по псевдопланам.

Псевдоплан

план, в котором условия оптимальности удовлетворяются, а среди значений базисных переменных x_i имеются отрицательные числа.

Алгоритм двойственного симплекс-метода включает следующие этапы:

1. Составление псевдоплана. Систему ограничений исходной задачи приводят к системе неравенств смысла «≤».

2. Проверка плана на оптимальность. Если в полученном опорном плане не выполняется условие оптимальности, то задача решается симплексным методом.

3. Выбор ведущих строки и столбца. Среди отрицательных значений базисных переменных выбираются наибольшие по абсолютной величине. Строка, соответствующая этому значению, является ведущей.

4. Расчет нового опорного плана. Новый план получается в результате пересчета симплексной таблицы по правилу треугольника. Далее переход к этапу 2.