Правило нахождения разрешающего элемента при использовании симплекс-метода. Экономическая интерпретация выбора направляющей строки и столбца

1	2	3	4						5
Базисные переменные	Сb ∆i	Свобод. члены bi	Коэффициенты при переменных						Q
			с1 = 9	с2 = 10	с3 = 16	с4 = 0	с5 = 0	с6 = 0
			x1	x2	x3	x4	x5	x6
x5	0	360	18	15	12	1	0	0	360/12
x6	0	192	6	4	8	0	1	0	192/8
x7	0	180	5	3	3	0	0	1	180/3
F		0	-9	-10	-16	0	0	0

Максимальное по абсолютной величине отрицательное число последней строки это -16; следовательно, столбец где стоит -16 является направляющим столбцом (столбец x₃). Экономический смысл -16. Отрицательные числа -9: -10: -16 свидетельствуют не только о возможности увеличения общей стоимости производимой продукции, но и показывают, на сколько увеличится эта сумма при введении в план единицы того или другого вида продукции. Поэтому с экономической точки зрения берем -16, т.к. при выпуске изделий С прибыль больше. Это же необходимо сделать и на основании формального признака симплексного метода.

Итак, переменная x₃ вводится в список базисных переменных. Найдем переменную, выводимую из списка базисных переменных. Для этого составляется столбец 5 дополнительный Q

Почему берем самое меньшее число. С экономической точки зрения, для того чтобы использовать полностью какого вида сырья. В этой задаче надо выпустить изделия вида С в количестве 24.

Т.к. сырье в ограниченном количестве, то мы можем выпустить изделия только вида С. Норма расхода сырья на этот вид изделия соответственно 12; 8; 3. А значит для выпуска изделий вида С в количестве 24 понадобится сырье соответственно 12 · 24 = 228 кг; 8 · 24 = 192 кг; 3 · 24 = 72 кг. При этом сырье II вида полностью использовано.

Если вместо изделия С будут производить изделия вида А в количестве 30 шт. или В – 60 шт., то на это не хватило бы сырья. Допустим выпускается изделие вида А в количестве 30 шт., то соответственно понадобится 30 · 18 = 540 кг (I); 30 · 6 = 180 кг (II); 30 · 5 = 150 (III) вида сырья, а у нас по условию задачи всего соответственно

360 кг; 192 кг; 180 кг.

Итак, вторая строка является направляющей строкой, и переменная x₅ должна быть выведена из списка базисных переменных. Разрешающий элемент а₂₃ = 8.

Правило построения новой симплексной таблицы. Как выписывается улучшенное решение из новой таблицы

Для подсчета элементов новой симплекс-таблицы по формулам

удобно использовать правило треугольника, наглядно отображающее указанные формулы.

Базисные переменные	Сb ∆i	Свобод. члены bi	Коэффициенты при переменных								Q
			с1 = 9	с2 = 10	с3 = 16	с4 = 0		с5 = 0		с6 = 0
			x1	x2	x3	x4	x5		x6
x5	0	360	18	15	12	1	0		0		360/12
x6	0	192	6	4	8	0	1		0		192/8
x7	0	180	5	3	3	0	0		1		180/3
F		0	-9	-10	-16	0	0		0

Правило треугольника. Для получения элементов (например, 72) новой симплекс-таблицы надо, от элемента (360) предыдущей симплекс-таблицы, стоящего на том же месте, отнять следующее выражение: произведение элемента разрешающей строки, стоящего в одном столбце с данным элементом (это 192), на элемент данной строки (это 12) деленное на разрешающий элемент (здесь 8)

360 – (192 · 12) / 8 = 72

Это выражение как бы соответствует треугольнику. Например, в новой симплекс-таблице первую строку получили таким образом,

360 – (192 · 8) / 8 = 72

18 – (6 · 12) / 8 = 9

15 – (4 · 12) / 8 = 9

В столбцах переменных, входящих в базис, на пересечении строк и столбцов одноименных переменных проставляются единицы, а все остальные элементы данных столбцов полагают равными нулю.

0-(12*1) *8=-3/2

1 – (12 * 0) / 8 = 1

0 – (12 * 0) / 8 = 0

Остальные элементы кроме направляющей строки и строки F пересчитываются аналогично по правилу треугольника.

Все элементы направляющей строки делятся на разрешающий элемент и соответственно записываются на ту же строку новой таблицы. В столбце С_b записываются коэффициенты переменных целевой функции. Для удобства их обозначаем ∆_i (i = 1, n)

Базисные переменные	Cb ∆і	Свободные члены bi	с1=9	с2=10	с3=16	с4=0	с5=0	с6=0	Q
			x1	x2	x3	x4	x5	x6
x4	0	72	9	9	0	1	-3/2	0	72:9
x3	16	24	3/4	1/2	1	0	1/8	0	24:1/2
x6	0	108	11/4	3/2	0	0	-3/8	1	108:3/2
F2		384	3	-2	0	0	2	0

А значение F в таблице можно подсчитать по формуле

F2 = 0 · 72 + 16 · 24 + 0 · 108 = 384