Экономическая интерпретация двойственных переменных. Анализ устойчивости двойственных оценок

Предположим, что исходная задача имеет невырожденные опорные планы и хотя бы один из них является оптимальным. Очевидно, изменение правых частей ограничений исходной задачи приводит, вообще говоря, к изменению максимального значения целевой функции Z_max, т.е. Z_max можно рассматривать как функцию свободных членов системы линейных уравнений: Теорема (об оценках). В оптимальном плане двойственной задачи значение переменной  численно равно частной производной функции   по соответствующему аргументу   т.е.   (7.14) Из теоремы об оценках вытекает, что при малом изменении правой части i-го ограничения в системе ограничений ЗЛП максимальное значение целевой функции изменяется на величину В частности, при   имеем  Применительно к задаче оптимального использования ресурсов можно сказать, что двойственная оценка   i-го ресурса приближенно равна приращению оптимальной прибыли, возникающему за счет увеличения объема i-го ресурса на единицу. Из теоремы также вытекает, что если изменится объем каждого ресурса на величину  , то эти изменения приведут к суммарному изменению прибыли  , которое может быть вычислено по формуле: . Эта формула имеет место лишь тогда, когда при изменении величин b_i значения переменных  в оптимальном плане соответствующей двойственной задачи остаются неизменными, поэтому представляет интерес определить такие интервалы изменения каждого из свободных членов b_i, в которых оптимальный план двойственной задачи не меняется. Такие интервалы называют интервалами устойчивости двойственных оценок.  Нижнюю и верхнюю границы интервала   устойчивости двойственных оценок определяют по формулам:  

  Здесь  – элементы матрицы D=B^–1, обратной к матрице В базиса оптимального плана, а j принимает значения индексов базисных переменных  оптимального плана.

Метод искусственного базиса (модифицированный симплекс метод)

Данный метод решения применяется при наличии в системе ограничений и условий-равенств, и условий-неравенств, и является модификацией табличного метода. Решение системы производится путём ввода искусственных переменных R_i со знаком, зависящим от типа оптимума, т.е. для исключения из базиса этих переменных последние вводятся в целевую функцию с большими отрицательными коэффициентами M, имеющими смысл "штрафов" за ввод искусственных переменных, а в задачи минимизации - с положительными M. Таким образом из исходной получается новая M-задача (поэтому метод искусственного базиса так же называют M-методом).

Если в оптимальном решении М-задачи нет искусственных переменных, это решение есть оптимальное решение исходной задачи. Если же в оптимальном решении M-задачи хоть одна из искусственных переменных будет отлична от нуля, то система ограничений исходной задачи несовместна и исходная задача неразрешима.

Симплекс-таблица, которая составляется в процессе решения, используя метод искусственного базиса, называется расширенной. Она отличается от обычной тем, что содержит две строки для функции цели: одна – для составляющей F, а другая – для составляющей M. При составлении симплекс таблицы полагают что исходные переменные являются небазисными, а дополнительные (x_n+m) и искусственные (R_i)- базисными.

Исходная таблица для "Метода искусственного базиса" имеет следующий вид:

	x1	x2	...	xn-1	xn	b
F	-a0,1	-a0,2	...	-a0,n-1	-a0,n	-b0
xn+1	a1,1	a1,2	...	a1,n-1	a1,n	b1
xn+2	a2,1	a2,2	...	a2,n-1	a2,n	b2
Ri	ai,1	ai,2	...	ai,n-1	ai,n	bi
...	...	...	...	...	...	...
xn+m	am,1	am,2	...	am,n-1	am,n	bm
M	-∑ai,1	-∑ai,2	...	-∑ai,n-1	-∑ai,n	-∑bi

Элементы дополнительной строки M расчитываются как сумма соответствующих коэффициентов условий-равенств (условий в которые после приведения к каноническому виду введены переменные R_i) взятая с противоположным знаком.

 Алгоритм метода искусственного базиса.

 Подготовительный этап

 Приводим задачу ЛП  к каноническому виду

F=a_0,1x₁+a_0,2x₂+...a_0,nx_n +b₀ → max

a_1,1x₁+a_1,2x₂+...a_1,nx_n+x_n+1=b₁

a_2,1x₁+a_2,2x₂+...a_2,nx_n+x_n+2=b₂

.........................................

a_i,1x₁+a_i,2x₂+...a_i,nx_n+R_i=b_i

.......................................

a_m,1x₁+a_m,2x₂+...a_m,nx_n+x_n+m=b_m

В случае если в исходной задаче необходимо найти минимум - знаки коэффициентов целевой функции F меняются на противоположные a_0,n=-a_0,n. Знаки коэффициентов ограничивающих условий со знаком "≥" так же меняются на противоположные. В случае если условие содержит знак "≤" или "=" - коэффициенты запишутся без изменений. К каждому условияю-неравенству, при переходе к каноническому виду добавляем дополнительную переменную, x_n+m , к каждому i-му условию-равенству добавляем искусственную переменную R_i.

 Шаг 0. Составляем симплексную таблицу, соответствующую исходной задаче

	x1	x2	...	xn-1	xn	b
F	-a0,1	-a0,2	...	-a0,n-1	-a0,n	-b0
xn+1	a1,1	a1,2	...	a1,n-1	a1,n	b1
xn+2	a2,1	a2,2	...	a2,n-1	a2,n	b2
Ri	ai,1	ai,2	...	ai,n-1	ai,n	bi
...	...	...	...	...	...	...
xn+m	am,1	am,2	...	am,n-1	am,n	bm
M	-∑ai,1	-∑ai,2	...	-∑ai,n-1	-∑ai,n	-∑bi

 

 Шаг 1. Проверка на допустимость.   

Проверяем на положительность элементы столбца b (свободные члены), если среди них нет отрицательных то найдено допустимое решение (решение соответствующее одной из вершин многогранника условий) и мы переходим к шагу 2. Если в столбце свободных членов имеются отрицательные элементы то выбираем среди них максимальный по модулю - он задает ведущую строку k. В этой строке так же находим максимальный по модулю отрицательный элемент a_k,l - он задает ведущий столбец - l и является ведущим элементом. Переменная, соответствующая ведущей строке исключается из базиса, переменная соответствующая ведущему столбцу включается в базис. Пересчитываем симплекс-таблицу согласно правилам.

• При составлении новой симплекс-таблицы в ней происходят следующие изменения: 

• Вместо базисной переменной x_k записываем x_l; вместо небазисной переменной x_l записываем x_k.  

• ведущий элемент заменяется на обратную величину a_k,l'= 1/a_k,l

• все элементы ведущего столбца (кроме a_k,l) умножаются на -1/a_k,l

• все элементы ведущей строки (кроме a_k,l) умножаются на 1/a_k,l

• оставшиеся элементы симплекс-таблицы преобразуются по формуле a_i,j'= a_i,j- a_i,l×a_k,j/ a_k,l

Если же среди свободных членов есть отрицательные элементы - а в соответствующей строке - нет то условия задачи несовместны и решений у нее нет.

Если после перерасчета в столбце свободных членов остались отрицаетельные элементы, то переходим к первому шагу, если таких нет, то ко второму.

Шаг 2. Проверка на оптимальность.

 На предыдущем этапе найдено допустимое решение. Проверим его на оптимальность Если среди элементов симплексной таблицы, находщихся в строках M и F(не беря в расчет элемент b₀ - текущее значение целевой функции и элемент -∑b_i) нет отрицательных, то найдено оптимальное решение.