Метод минимального элемента

Построение плана начнем с клетки с наименьшим тарифом перевозок. При наличии нескольких клеток с одинаковыми тарифами выберем любую из них. Пусть это будет клетка (i; j). Запишем в эту клетку элемент x_ij = min(a_i, b_j). Если a_i < b_j, то запасы поставщика A_i исчерпаны, а потребителю B_j требуется еще b_j = b_j - a_iединиц груза. Поэтому, не принимая более во внимание i-ю строку, снова ищем клетку с наименьшей стоимостью перевозок и заполняем ее с учетом изменившихся потребностей. В случае a_i > b_j из рассмотрения исключается j-й столбец, а запасы A_i полагаются равными a_i = a_i - b_j. Продолжаем этот процесс до тех пор, пока все запасы не будут исчерпаны, а все потребности удовлетворены.

Пример:

Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов

	1	2	3	Запасы
1	1	2	3	100
2	4	5	6	50
3	7	8	9	150
Потребности	80	60	160

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.

Этап I. Поиск первого опорного плана. 1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.

	1	2	3	Запасы
1	1[80]	2[20]	3	100
2	4	5[40]	6[10]	50
3	7	8	9[150]	150
Потребности	80	60	160

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи. 2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 5, а должно быть m + n - 1 = 5. Следовательно, опорный план является невырожденным. Этап II. Улучшение опорного плана. Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

	v1=1	v2=2	v3=3
u1=0	1[80]	2[20]	3
u2=3	4	5[40]	6[10]
u3=6	7	8	9[150]

Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию u_i + v_i <= c_ij. Минимальные затраты составят: F(x) = 1*80 + 2*20 + 5*40 + 6*10 + 9*150 = 1730