Сетевые модели

Сетевая модель – это графическое представление проекта. Она позволяет найти минимальные сроки завершения проекта и отдельных работ, а также определить множество критических работ, увеличение продолжительности выполнения любой из которых приводит к увеличению времени выполнения всего проекта.

Сети или сетевые модели имеют широкое практическое применение. Из всего разнообразия методов и моделей рассмотрим здесь лишь метод критического пути (МКП). Сеть в этом случае – это графическое отображение комплекса работ. Основными элементами сети здесь являются события и работы.  Событие – это момент завершения процесса, отображающий отдельный этап выполнения проекта. Комплекс работ начинается с исходного и заканчивается завершающим событием.  Работа – это протяжённый во времени процесс, необходимый для свершения события и, как правило, требующий затрат ресурсов.  События на сетевом графике обычно изображаются кружками, а работы – дугами, соединяющими события. Событие может свершиться только тогда, когда закончатся все работы, ему предшествующие.  В сетевом графике не должно быть "тупиковых" событий, за исключением завершающего, не должно быть событий, которым не предшествует хотя бы одна работа (кроме исходного), не должно быть замкнутых контуров и петель, а также параллельных работ. 

Основные параметры сетевых моделей — это критический путь, резервы времени событий, работ и путей. Кроме этих показателей имеется ряд вспомогательных, которые являются исходными для получения дополнительных характеристик по анализу и оптимизации сетевого плана комплекса работ. При расчетах применяют следующие обозначения параметров сетевой модели:

t_j^p — ранний срок свершения j-го события;

t_jⁿ — поздний срок свершения j-го события;

R_j — резерв времени на свершение j-го события;

t_ij^P.H — ранний срок начала работы (i,j);

t_ij^P.O — ранний срок окончания работы (i,j);

t_ij^П.H — поздний срок начала работы (i,j);

t_ij^П.О — поздний срок окончания работы (i,j);

r_ij^П — полный резерв времени работы (i,j);

r_ij^C.B — свободный резерв времени работы (i,j),

k_ij^H — коэффициент напряженности работы (i,j);

Т_П — продолжительность пути LП; T_П = t(L_П);

T_КР — продолжительность критического пути L_КР;

R_(Lп) — полный резерв времени пути Lп.

Метод потенциалов

Для анализа полученных планов при решении транспортных задач и их последующего улучшения удобно ввести дополнительные характеристики пунктов отправления и назначения, называемые потенциалами.

Сопоставим каждому поставщику A_i и каждому потребителю B_j величины u_i и v_j соответственно так, чтобы для всех базисных клеток плана были выполнены соотношения u_i + v_j = c_ij

Поскольку число базисных клеток в плане равно m + n -1 (вырожденные планы должны быть предварительно пополнены), то для определения потенциалов получается система из m + n - 1 уравнений с m + n неизвестными. Обычно для простоты полагают один из потенциалов равным нулю и затем вычисляют остальные.

В транспортной таблице для потенциалов v заводится дополнительные строка, а для потенциалов u – дополнительный столбец, куда проставляются найденные значения.

Для каждой свободной клетки плана вычислим разности Δc_ij = c_ij - (u_i + v_j) и запишем полученные значения в левых нижних углах соответствующих клеток. План является оптимальным, если все разности Δc_ij ≥ 0. В противном случае план можно улучшить следующим способом.

Найдем клетку с наибольшей по абсолютной величине отрицательной разностью Δc_ij и построим цикл, в котором кроме этой клетки все остальные являются базисными. Такой цикл всегда существует и единственен. В свободной клетке значение будет увеличено, то проставим в ее правом нижнем углу знак +. Теперь пройдем по всей ломаной цикла, проставляя в правых нижних углах клеток поочередно знаки + и -.

Груз будет перераспределен по клеткам цикла на величину Δx = min x_ij следующим образом. В клетках со знаком + значение перевозки нужно увеличить на величину Δx, а в клетках со знаком – уменьшить на величину Δx.

После этого полученный план проверяется на оптимальность описанным выше способом. Перераспределение груза производится до тех пор, пока очередной план не станет оптимальным. На этом действие алгоритма завершается.