К омпактные множества. Полунепрерывность снизу. Теорема ВейерштрассаФункция полунепрерывна снизу тогда и только тогда, когда множество открыто в стандартной топологии вещественной прямой для любого

Пусть суть две полунепрерывные снизу (сверху) функции. Тогда их сумма также полунепрерывна снизу (сверху).

Предел монотонно возрастающей (убывающей) последовательности полунепрерывных снизу (сверху) в точке функций есть полунепрерывная функция снизу (сверху) в . Более точно пусть дана последовательность полуненпрерывных снизу (сверху) функций таких, что Тогда если существует предел то полунепрерывна снизу (сверху).

Если и есть полунепрерывные функции соответственно снизу и сверху соответственно, и на всём пространстве выполнено

то существует непрерывная функция , такая что

(Теорема Вейерштрасса) Пусть дано компактное подмножество Тогда полунепрерывная снизу (сверху) функция достигает на своего минимума (максимума).

Теорема Вейерштрасса для полунепрерывных функций

Пусть функция ограничена и полунепрерывна сверху. Тогда

и

Пусть функция ограничена и полунепрерывна снизу. Тогда

И

Построение моделей. Типы моделей

Модель – это некоторый материальный или абстрактный объект, находящийся в определенном объективном соответствии с исследуемым объектом, несущий о нем определенную информацию и способный его замещать на определенных этапах познания.

Этапы построения математических моделей

1. Содержательное описание моделируемого объекта. Словесно описывается объект моделирования, цели его функционирования, среда, в которой он функционирует, выявляются отдельные элементы, возможные состояния, характеристики объекта и его элементов, определяются взаимосвязи между элементами, состояниями, характеристиками.

2. Формализация операций. На основе содержательного описания определяется и анализируется исходное множество характеристик объекта, выделяются наиболее существенные из них. Затем выделяют управляемые и неуправляемые параметры, вводят символьные обозначения. Определяется система ограничений, строится целевая функция модели.

3. Проверка адекватности модели. Исходный вариант модели необходимо проверить по следующим аспектам:

1) все ли существенные параметры включены в модель?

2) нет ли в модели несущественных параметров?

3) правильно ли отражены связи между параметрами?

4) правильно ли определены ограничения на значения параметров?

4. Корректировка модели. На этом этапе уточняются имеющиеся сведения об объекте и все параметры построенной модели. Вносятся изменения в модель, и вновь выполняется оценка адекватности.

5. Оптимизация модели. Сущность оптимизации (улучшения) моделей состоит в их упрощении при заданном уровне адекватности. В основе оптимизации лежит возможность преобразования моделей из одной формы в другую.

Типы моделей.

Классификация:

По Аспекту моделирования:

- Функциональные; Информационные; Поведенческие;

По соответствию оригиналу:

- Полное; Приближенное;

По форме реализации:

- Реальное; Мысленное;

По наличию управляемых переменных:

- Конструктивное; Дескриптивные;

По изменению во времени:

- Статические; Динамические

По степени определенности;

- Детерминированные; Стохастические;

По способу реализации:

- Наглядное; Математическое; Имитационное; Натурное; Физическое; Аналоговое

В зав-ти от того, какой вид имеет цел-ая ф-ия и ограничения, задающие ОДЗ, выд-ют разл. классы задач мат-го прогр-ия.

Если и цел-ая ф-ия явл. линейной, а все ограничения им. вид линейных равенст или неравенст, то задача наз-ся ЗЛП.

Если хотя бы одна из ф-ий оптимизационной задачи не явл-ся лин-ой, то задача наз-ся ЗНП.

В некоторых случаях переменные, участв. в задаче, могут принимать не любые значения, а только целочисленные, то задача ЗЦелочисленногоП

Если процесс принятия реш-я носит поэтапный хар-р и вектор упр-я на каждом шаге опр-ся знач-ем цел-ой ф-ии на предыдущем шаге, то задача наз-ся задачей динамического прогр-ия.

Выпуклые множества. Выпуклые функции. Критерии выпуклости функции

Пусть  – некоторое множество , а функция определена на множестве . Множество называется выпуклым, если точка , и при всех . Функция выпукла на выпуклом множестве , если

(1)

Функция строго выпукла на , если в (1) равенство возможно только при . Функция вогнута (строго вогнута) на , если функция выпукла (строго выпукла) на . Функция сильно выпукла на , если

(2)

Теорема 1. Пусть – выпуклое множество из . Тогда для того, чтобы функция была выпукла на , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих неравенств:

(3)

или

(4)

Если , то для выпуклости на необходимо и достаточно, чтобы

Теорема 2. Для того чтобы функция была сильно выпуклой на выпуклом множестве , необходимо и достаточно выполнение одного из следующих двух условий:

(5)

(6)

Если , то для сильной выпуклости на необходимо и достаточно, чтобы