Интерполяционные формулы Ньютона для равноотстоящих узлов.

1. Интерполяционная формула Ньютона для начала таблицы (интерполяция вперед)

Выберем узлы и запишем интерполяционную формулу с разделенными разностями

Сделаем замену , тогда , а выражения для разделенных разностей примет вид

.

Теперь интерполяционный многочлен Ньютона для точки x, расположенной в начале таблицы, запишется в виде

,

где

2. Интерполяционная формула Ньютона для конца таблицы (интерполяция назад)

Выберем узлы и запишем интерполяционную формулу с разделенными разностями

Здесь удобна замена , тогда , и для разделенных разностей получим выражения

Теперь интерполяционный многочлен Ньютона для конца таблицы принимает вид

где

Интерполяционные формулы Гаусса.

Интерполяционные многочлены Гаусса строятся для значений x, находящихся в середине таблицы.

Первая формула Гаусса.

Первая формула Гаусса получается, если в качестве узлов интерполяции выбраны , при n=2m+1 (последний узел отбрасывается, если n=2m).

Формула Ньютона с разделенными разностями для таких узлов имеет вид

Здесь имеются разделенные разности двух типов

Сделаем замену , тогда , первая формула Гаусса примет вид

где

Вторая формула Гаусса.

Вторая формула строится также как первая, только выбраны узлы .

Для таких узлов формула Ньютона с разделенными разностями имеет вид

Сделаем ту же замену , и вторая формула Гаусса примет вид

Формулы Гаусса используют конечные разности, лежащие вблизи горизонтали, проходящей через . Эти разности называются центральными.

Отметим еще раз, что различные интерполяционные многочлены, построенные для одного набора узлов, являются различными формами записи одного и того же многочлена.

Построим таблицу конечных разностей, и отметим на ней, какие конечные разности используются в различных интерполяционных формулах

Оптимальный выбор узлов интерполяции.

Если значения функции получаются с помощью трудоемкого расчета, то можно поставить вопрос о вычислении значений в таких узлах , чтобы в оценке погрешности интерполяции

для многочлена выполнялось условие

,

где произвольный многочлен степени с коэффициентом при старшей степени .

Такие многочлены существуют, они с точностью до множителя совпадают с многочленами Чебышева и называются наименее уклоняющимися от нуля.

Многочлены Чебышева.

Многочлены Чебышева нулевой и первой степени имеют вид

а многочлены n — ой степени выписываются с помощью рекуррентной формулы

.

Легко показать (с помощью математической индукции), что — четная функция, а — нечетная. Из рекуррентной формулы следует, что коэффициент при старшей степени , n>1 равен .

У многочлена Чебышева существует n различных вещественных корней, которые находятся на отрезке . Чтобы найти эти корни, запишем на в виде

.

Для корней такого многочлена получаются формулы

, .

Экстремумы многочлена Чебышева достигаются в точках , , , причем

.

Сравним значения модулей многочленов и произвольного многочлена . У обоих этих многочленов коэффициенты при старших степенях равны единице.

Лемма. Если — произвольный многочлен степени n с коэффициентом при старшей степени равным единице, то

Доказательство. Предположим противное, пусть . Степень многочлена не выше (n-1) (старшие степени уничтожаются). В силу предположения, он не равен нулю тождественно. Если для любого , то знак разности в точках экстремума многочлена Чебышева

совпадает со знаком .

Это означает, что многочлен меняет знак на отрезке в (n+1)–ой точке, т.е. имеет n корней. Отличный от нуля многочлен степени не более (n-1) не может иметь n корней. Получили противоречие, лемма доказана.

Заметим, что многочлены

, , .

образуют на отрезке ортонормированную с весом систему многочленов, т.е.

Сделаем замену , тогда, если , то . Корням , полинома на отрезке , отвечают точки на отрезке . Если эти точки взять в качестве узлов интерполяции, то

Это означает, что

Для выбранных узлов интерполяции получается оценка

,

и её нельзя улучшить за счет выбора любых других узлов.

З амечание. На опасность появления большой погрешности интерполяции обратил внимание в 1901г. Рунге. На отрезке рассматривалась аналитическая функция (на рисунке изображен её график).

Если при построении интерполяционного многочлена для этой функции, выбрать равноотстоящие узлы, например, для n=6, то при последовательность не сходится к для значений .

Если же в качестве узлов выбирать корни полинома Чебышева, то для любого значения .

Есть теорема Фабера: если непрерывно дифференцируема (одной непрерывности мало), то интерполяционные многочлены , построенные на отрезке по узлам, совпадающим с корнями многочлена Чебышева, сходятся к при .

Контрольные вопросы.

1. Сколько интерполяционных многочленов степени n-1 можно построить по заданным n узлам?

2. Сформулируйте постановку задачи интерполяции. Что такое экстраполяция?

3. Сформулируйте постановку задачи интерполяции с кратными узлами.

4. Как отличаются друг от друга различные интерполяционные многочлены (Лагранжа, Ньютона, и т.п.), построенные по одному и тому же набору узлов?

5. Как оценивается погрешность интерполяционного полинома? Как её можно уменьшить?

6. Как оптимальным образом выбрать узлы интерполяции?

7. Перечислите свойства разделенных разностей.

8. Перечислите свойства конечных разностей.

9. Для каких функций погрешность интерполяции равна нулю?

10. Пусть задана большая таблица значений функции. Как расположение значения х влияет на выбор интерполяционной формулы? Как наилучшим образом выбрать степень интерполяционного многочлена?

Упражнения

3. Пусть , постройте интерполяционный многочлен , совпадающий с функцией в точках x=0, x=1, x=2. Оцените на отрезке . Сравните эту оценку с фактической погрешностью в точке x=1/2 (или x=3/2)

4. Пусть , . Определите шаг h таблицы значений , чтобы линейная интерполяция (многочлен ) обеспечивала точность .

5. Пусть на отрезке заданы значения функции в узлах , ( ). Определите, при каком значении числа n для интерполяционного многочлена будет выполняться оценка для любого .

6. На сетке , , заданы значения , где – многочлен Чебышева. Вычислите значение .

7. Постройте таблицу конечных разностей для таблицы значений функции

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	0	-2.9	-4	-3.1	0	4.9	12

Многочленом какой степени разумно интерполировать эту функцию

8. Постройте интерполяционный многочлен Ньютона третьей степени для точки x=2.7, если функция задана таблично

   x	-3	-2	-1	0	1	2	3
   y	0.1	-3	-4	-3.1	0	5.4	11.7

9. Пусть , P(x) и Q(x)– два полинома третьей степени, удовлетворяющие условиям . Оцените для любого значение .

10. Пусть дана таблица пятизначных десятичных логарифмов для с шагом . Будет ли погрешность линейной интерполяции (многочлен ) меньше чем .

11. Постройте интерполяционный многочлен для функции Рунге , с помощью узлов . Оцените погрешность.

12. Возьмите любой многочлен степени вычислите его значения в (n+2) узлах. Используйте эти значения для построения интерполяционных многочленов степени n-1, n и n+1. Сравните полученные многочлены с выбранным полиномом

13. Постройте кусочно–линейную функцию, соответствующую следующим данным

    x	0	1/6	1/3	1/2	2/3	5/6	1
    y	1	4	1	-1	2	4	0

14. Постройте кусочно – квадратичную функцию, соответствующую следующим данных

x	0	1/6	1/3	1/2	2/3	5/6	1
y	1	4	1	-1	2	4	0

Задание для практикума на ЭВМ.

Приведем схему задания, которое нужно выполнить на вычислительной машине. Целью этого задания являются, во-первых, практика в построении алгоритмов и в написании программ, реализующих эти алгоритмы, во-вторых, выяснение причин вычислительной погрешности при интерполяции.

Тема: “ Полиномиальная интерполяция ”.

Пусть значения некоторой функции известны в N узлах , на отрезке . Требуется построить интерполяционный многочлен по k ( ) узлам и оценить его погрешность.

Для этого:

1. Вычислите таблицу значений заданной функции в узлах , .

2. Составьте процедуру вычисления значений интерполяционного многочлена по k узлам вычисленной таблицы функции.

3. Нарисуйте на одном графике функцию и соответствующий ей интерполяционный многочлен на отрезке .

4. Выполните это задание для функции (пример Рунге)

, где .

5. Объясните полученные результаты.

Для выполнения задания можно использовать любой язык программирования. Удобно это задание выполнять, используя математические пакеты (например, Maple).

В варианте задания должны быть заданы функция , значения N и k. Интерполяционная формула может быть указана или выбираться самостоятельно.

Из этого задания можно получить несколько различных вариантов заданий, для этого:

1. Задать функцию различными способами.

   1. функция выбирается как линейная комбинации элементарных функций;

   2. функция выбирается кусочно-полиномиальной. Если производная этой функции терпит разрыв, то можно увидеть, как влияет такой разрыв на погрешность интерполяции;

   3. значения функции задавать с малой случайной погрешностью (порядка , где – точность расчета) в выбранных узлах (можно вычислять в точках );

2. При построении многочлена использовать различные интерполяционные формулы. Определять, как влияет взаимное расположение узлов таблицы и значения х на погрешность интерполяции.

Литература

1. Бахвалов H.С. Численные методы. М.: Наука, 1973

2. Калиткин H.H. Численные методы. М.:Hаука,1978

3. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.:Hаука,1989

4. Бахвалов H.С. ,Кобельков Г.М., Жидков Н.П, Численные методы. М.:Hаука,1989г.

5. Р.В. Хемминг. Численные методы. М.: Наука, 1972

6. Дж. Ортега, У.Пул. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986.