Интерполяционные многочлены для равноотстоящих узлов.

Пусть узлы , в которых заданы значения функции , равноотстоящие, т. е. для любого =0,1,...,n-1. В этом случае вместо разделенных разностей вводятся конечные разности.

Конечные разности и их свойства.

Определение:

Конечной разностью первого порядка называется выражение

.

Конечной разностью второго порядка называется

.

Конечной разностью k—ого порядка называется

.

Иногда конечная разность k—ого порядка обозначается .

С помощью метода математической индукции можно установить связь между разделенными и конечными разностями

.

Из этого равенства и формулы (10) получаем

, где

Конечные разности, также как и разделенные, можно понимать как обобщение понятия производной в дискретном анализе.

Свойства конечных разностей определяются свойствами разделенных разностей:

1. Конечная разность — линейная операция

.

2. Если функция f(x) является полиномом n – ой степени, то конечные разности n – ого порядка постоянны, а (n+1) – ого порядка равны нулю.

Упражнения.

1. Постройте таблицу конечных разностей для значений функции

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y(x)	0	-3	-4	-3	0	5	12

Для какой функции составлена эта таблица?

2. Возьмите любой многочлен степени , вычислите его значения в (n+3) равноотстоящих узлах. Постройте таблицу конечных разностей, соответствующую вычисленным значениям.

3. Вычислите конечную разность , если функция задана своими значениями .

4. Постройте таблицу конечных разностей для функции в узлах , при условии, что её значение в известно с погрешностью ( ). Проследите, как распространяется эта погрешность в таблице конечных разностей.

Для равноотстоящих узлов оценку погрешности интерполяционного многочлена , построенного по узлам , можно записать в виде

,

где , , .

Из этой оценки следует, что точность интерполяции в точке x (значение t фиксировано) можно увеличить, если

1. уменьшить h – шаг таблицы,

2. при шаге таблицы , увеличить n,

3. уменьшить значение константы C.

Может оказаться, что первый из указанных способов невозможен, например, таблица получена экспериментально, и её шаг нельзя изменить.

Второй из указанных способов накладывает жесткие требования на гладкость функции ( должна быть ограничена). Для экспериментально полученной функции (“зашумленной”) такие требования обычно не выполняются.

Константа C становится меньше, если выбрать ближайшие узлы к заданной точке x. Пусть задана таблица значений функции для большого числа равноотстоящих узлов ( ). Если интерполяционный многочлен строится для значения x, которое находится между узлами в начале таблицы, то ближайшими к x узлами являются , . Для конца таблицы ближайшие к x узлы — , .

Если же значение x находится среди узлов в середине таблицы, то в качестве нулевого узла интерполяции (ближайшего к x) выбирается значение , где индекс i равен целой части числа . Остальные узлы выбираются из значений , очевидно, значение k зависит от n. Если , то ближайшими к x являются узлы , если же , то — .

Рассмотрим интерполяционные формулы для всех вариантов расположения значения x.