27

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ.

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ.

С.Н. Овчинникова

Методическое пособие

по курсу "ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ"

выпуск 1

Полиномиальная интерполяция.

Ростов-на-Дону

2006

Часто при различных расчетах требуется выполнить некоторые аналитические операции над функцией, явное выражение которой неизвестно или вычисление каждого её значения трудоемко. Чтобы выполнить такие операции, эту функцию можно приближенно заменить другой, более простой.

Например, требуется вычислить

,

а значения функции заданы на отрезке лишь в точках (узлах) ( ). Можно приблизить (аппроксимировать) некоторой функцией , для которой существует первообразная. Очевидно, требуется, чтобы приближенное равенство выполнялось с заданной точностью.

В качестве обычно выбирается линейная комбинация элементарных функций. Например, можно положить , или, в случае четной периодической функции , , и т.п. Можно также аппроксимировать кусочно-полиномиальной функцией.

Выбрав класс приближающих функций, надо из него выделить для одну определенную функцию посредством некоторого критерия — некоторой меры близости.

Самый распространенный критерий состоит в требовании, чтобы приближающая функция совпадала с заданными значениями в узловых точках ( = ) — задача интерполяции. Другой распространенный критерий — "наименьшие квадраты" — означает, что "сумма квадратов отклонений между значениями функции и в узловых точках , должна быть минимальной". Существуют и другие критерии.

Таким образом, прежде чем начать вычисления, надо знать ответ на четыре вопроса:

1. В каких узлах известны значения функции?

2. Какой выбран класс приближающих функций?

3. Какой выбран критерий меры близости?

4. Какая требуется точность?

В этом методическом пособии рассматривается задача интерполяции.

Линейная задача интерполяции.

Пусть известны значения некоторой функции в узлах , . Выберем систему линейно независимых функций , , и будем приближать линейной комбинацией этих функций

.

Критерием выбора в задаче интерполяции одной из таких функций для является условие

.

Это условие позволяет получить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) для вычисления коэффициентов . СЛАУ имеет вид

. (1)

В силу линейной независимости функций , существуют узлы интерполяции , для которых определитель этой системы отличен от нуля. Для таких узлов решение СЛАУ (1) единственно, и оно определяет единственную функцию .

Заметим, если строится для значений x на отрезке , то говорят о задаче интерполяции, если же для значений x вне этого отрезка ( или ), то — о задаче экстраполяции.

Полиномиальная интерполяция.

Если в качестве функций выбраны степенные функции (k=1,2,…,n), то задача интерполяция состоит в построении многочлена

.

Коэффициенты выбираются так, чтобы

.

Если все узлы интерполяции различны ( ), то определитель системы (1) — определитель Вандермонда отличен от нуля. Это означает, что существует единственный интерполяционный многочлен степени (n-1), построенный по узлам . Многочисленные интерполяционные многочлены (формулы), построенные для одного выбранного набора узлов , — различные формы записи одного и того же многочлена. Такие формулы удобны, а иногда и необходимы, при построении различных численных методов и алгоритмов, реализующих эти методы.

Обычно слово "полиномиальная" опускается, и, когда говорят интерполяция, имеют в виду полиномиальную интерполяцию.

Интерполяционный многочлен Лагранжа.

Сначала построим фундаментальные многочлены интерполяции (базисные многочлены Лагранжа) степени (n-1), ассоциированные с множеством узлов . Многочлены удовлетворяют условиям

(2)

Из (2) следует, что известны все корни многочлена , и его можно записать в виде

.

Константа C определяется из условия , для фундаментальных многочленов получается выражение

,

.

С помощью системы многочленов искомый интерполяционный многочлен записывается в виде

(3)

Для этого многочлена степени (n-1) выполняются условия интерполяции

.

Построенный многочлен называется интерполяционным многочленом Лагранжа.

Единственность многочлена Лагранжа.

Докажем единственность многочлена , как обычно, от противного. Пусть и — два различных интерполяционных многочлена Лагранжа, т.е. выполняются равенства

.

Рассмотрим многочлен . Степень не более n-1, а у него n корней, т.к. . Многочлен степени не более n-1 не может иметь n корней, значит .

Оценка погрешности.

Пусть имеет на все непрерывные производные до n порядка включительно. Оценим разность для значения , отличного от узлов интерполяции.

Рассмотрим функцию , где , . Константу D выберем так, чтобы в точке на отрезке , отличной от узлов интерполяции, функция обращалась в нуль . Очевидно,

. (4)

При таком значении D функция обращается в нуль на в (n+1)–ой точке (n узлов и ). Согласно теореме Ролля (Если непрерывно дифференцируемая функция на концах отрезка принимает одинаковые значения, то найдется, по крайней мере, одна точка внутри отрезка, в которой её производная равна нулю) получаем цепочку утверждений:

имеет на , по крайней мере, n нулей,

имеет на , по крайней мере, n-1 нуль,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

имеет на , по крайней мере, один нуль.

Нуль n– ой производной обозначим . Формула для n– ой производной функции имеет вид

.

Из равенства определяется константа D

. (5)

Из выражений (4) и (5) получается

.

В силу произвольности можно записать

. (6)

Если обозначить , тогда из (6) получится оценка погрешности интерполяции

(7)

Обычно вычислить и оценить очень трудно или вообще невозможно, поэтому полученная оценка в очень редких случаях может быть использована при практическом счете. Тем не менее, эта оценка полезна для понимания внутренней природы возникающих ошибок. Например, один вывод можно сделать сразу: увеличивать количество точек, используемых в качестве узлов интерполяции при построении интерполяционного многочлена, опасно, так как требуется большая гладкость функции . Такое требование, как правило, не выполняется для функций, значения которых получаются экспериментально.

Построим другую форму записи того же интерполяционного многочлена Лагранжа (он единствен), более удобную при изменении количества узлов интерполяции.

Интерполяционный многочлен Ньютона.

Введем сначала понятие разделенной разности.

Определение:

Разделенной разностью нулевого порядка называется значение функции в точке .

Разделенная разность первого порядка определяется выражением

.

Разделенная разность второго порядка определяется выражением

. . . . . . . . . . . . . . . .

Разделенная разность k —го порядка выражается через разделенные разности (k-1) —го порядка, следующим образом

.

Для разделенных разностей справедливо равенство

. (8)

Эта формула доказывается методом математической индукции (докажите сами).

Выразим через разделенные разности

Таким образом, справедливо соотношение

. (9)

Из (6) и (9) получается выражение для разделенной разности

. (10)

Если в этой формуле все узлы стягивать в одну точку, например, в , то , т.е. разделенную разность можно понимать как обобщение понятия производной в дискретном (численном) анализе.

Свойства разделенных разностей.

1. Разделенная разность является линейным оператором. Действительно, из формулы (8) следует, что

,

где  и  — const.

2. Разделенная разность не меняется при любой перестановке своих аргументов (см. формулу (8)).

3. Если функция является многочленом степени n ( ), то ее разделенная разность n — ого порядка постоянна, а разделенная разность (n+1) — ого порядка обращаются в нуль (см. формулу (10)).

Третье свойство разделенных разностей позволяет выбрать такую степень (или число узлов k) интерполяционного многочлена для заданного значения x, чтобы погрешность интерполяции в его окрестности была мала.

Если в окрестности точки x разделенные разности до - порядка убывают, а

затем начинают расти, то число узлов должно быть не более . Разделенные разности функции записаны в таблице 1.

Интерполяционная формула Ньютона

с разделенными разностями.

Запишем интерполяционный многочлен Лагранжа в виде

Каждый из многочленов построен по узлам , т.е. выполняются равенства

.

Выражение является многочленом степени (m-1), все корни которого известны, так как

.

Это означает, что

,

где — пока неизвестная постоянная.

Положим и, используя (9), запишем

.

Сравнивая две последние формулы, находим, что = , а

.

Теперь можно интерполяционный многочлен записать в виде

.

Полученная формула называется интерполяционной формулой (многочленом) Ньютона с разделенными разностями.

Обратите внимание, что коэффициенты интерполяционной формулы Ньютона находятся в таблице 1 вдоль штриховой линии. Добавление нового узла или удаление последнего узла не требуют пересчета предыдущих коэффициентов.

Заметим, что эту формулу можно понимать как обобщение формулы Тейлора в дискретном анализе: разделенные разности — обобщение производных, а — обобщение степени бинома. Можно показать, что, если узлы стягиваются в одну точку, то в пределе формула Ньютона принимает вид формулы Тейлора.

Упражнения.

1. Постройте интерполяционный многочлен Лагранжа для функции, заданной таблично

   	-3.6	2.1	-1	1.7
   	2.3	-3.6	-4	3

2. Возьмите какой-либо многочлен степени , вычислите таблицу его значений , в пяти неравноотстоящих узлах. Постройте таблицу разделенных разностей.

3. Постройте интерполяционный многочлен Ньютона для функции, заданной таблично

	-3.6	2.1	-1	1.7
	2.3	-3.6	-4	3

Вычислите его значение в точке х=1.