Упражнения.

Предлагаемые далее упражнения выполните вручную или с помощью небольших компьютерных вычислений.

1. Найдите точное решение задачи Коши

   

   Разложите его в ряд по степеням переменной x. Вычислите 6 слагаемых приближенного решения задачи Коши, используя метод разложения в ряд Тейлора. Сравните полученные результаты.

2. Используя метод разложения в ряд Тейлора, вычислите четыре слагаемых приближенного решения задачи Коши

   

3. Постройте с помощью интерполяции разностный метод Адамса–Башфорта по трем узлам и оцените его локальную погрешность.

4. Постройте с помощью интерполяции разностный метод Адамса–Мултона по трем узлам и оцените его локальную погрешность.

5. Аппроксимируют ли уравнение разностные схемы (упражнение из [7])

   1. ;

   2.

   3.

6. Постройте с помощью метода неопределенных коэффициентов явную разностную схему по трем точкам.

7. Постройте с помощью метода неопределенных коэффициентов неявную разностную схему по трем точкам.

8. Для задачи , с точным решением u =x рассматривается схема (упражнение из [7])

   

   Какой порядок аппроксимации данной схемы? Можно ли его улучшить?

9. Определите порядок метода Рунге–Кутты

   

10. Выпишите формулы для расчета одного шага решения уравнения

    

    с помощью метода Рунге–Кутты из предыдущего упражнения.

11. Выпишите формулы для расчета одного шага решения уравнения

с помощью метода Адамса- Башфорта второго порядка.

Примеры задания для курса “Практикум на эвм”.

При выполнении предложенных далее заданий можно использовать любой язык программирования, а в некоторых случаях также и доступные Вам стандартные программы, реализующие выбранные методы. В вариантах правая часть системы (4) обычно задается так, чтобы можно было найти точное решение (4) вручную или с помощью пакета программ, позволяющих выполнять математические операции на ЭВМ.

Точность современных ЭВМ очень высокая, и, чтобы легче было оценивать влияние погрешности округления на результат, разумно ограничивать длину мантиссы числа при вычислениях с плавающей запятой, или ввести случайную ошибку порядка , например, в начальные условия ( – заданная точность расчета).

Очень удобен для выполнения заданий математический пакет Maple.

Задание № 1.

Тема: Решение задачи Коши для уравнения первого порядка

На примере задачи Коши

, (1)

оценить качество (реальную погрешность вычисленного решения и время расчета ) выбранного метода (или методов) приближенного решения задачи Коши.

Примеры вариантов задания

Вариант 1.

Предлагается задача Коши

, . (1)

Оцените погрешность метода вычисления приближенного решения в виде отрезка ряда Тейлора. Задание нужно выполнять с помощью какого-либо пакета программ, выполняющих символьные математические преобразования (например, с помощью пакета Maple).

Требуется: