Линейные многошаговые методы.

Пусть в точках на отрезке заданы значения решения задачи Коши (4). Требуется, используя эти известные значения , вычислить решение в следующих точках , , .

Такой метод расчета можно построить с помощью интерполяции. Для решения u(x) задачи (4) справедливо тождество

, .

С помощью известных значений в точках строится интерполяционный многочлен , такой что

,

где – полиномы степени не более k-1, а r(x) – погрешность, оценка которой имеет вид

, .

Тогда

.

Отсюда получается линейный многошаговый метод (LMM) расчета приближенного решения для

,

где коэффициенты , а погрешность метода .

Точные значения для m>k заменяются вычисленными с заданной точностью приближенными . Тогда приближенное значение решения рассчитывается по явной схеме

, (7)

и справедлива оценка локальной погрешности

, .

Если при построении интерполяционного многочлена используется неизвестное значение , то аналогично получается неявная k– шаговая схема

При построении таких методов удобно использовать интерполяционные формулы для конца таблицы.

Общую схему линейного многошагового разностного метода(LMM)

(8)

можно построить также с помощью метода неопределенных коэффициентов.

Очевидно, . Если , то метод (8) –явный многошаговый (экстраполяционый), если же , то — неявный (интерполяционный). Локальная погрешность схемы (8) определяется величиной

,

которая называется аппроксимацией дифференциальной задачи (4) схемой (8). Коэффициенты схемы (8) выбираются так, чтобы (см., например, [1],[2] глава VIII §6).

Полная погрешность (глобальная) многошагового метода, очевидно, зависит от локальной погрешности и от того, как уравнение

преобразует “предыдущие погрешности”, т.е. имеет ли это уравнение быстро растущие решения (см., например, [4] глава 6 §3,[5] глава 2 пункт 2.5). Если уравнение имеет быстро растущие решения, схема является неустойчивой. Как правило, явная схема, более удобная для расчета, неустойчива, а неявная схема устойчива.

Разностные k – шаговые методы удобны при расчетах, если известен шаг h, обеспечивающий требуемую точность. Они экономичнее одношаговых, т.к. на каждом шаге только один раз надо вычислять правую часть .

Для начала расчета с помощью k – шагового метода требуются значения решения (хотя бы приближенные) в первых k точках. Эти значения называются началом таблицы. Изменение величины шага для анализа локальной погрешности требует пересчета начала таблицы, использование для этого интерполяции усложняет алгоритм (см. [6], гл.6 пункт 7.).

Методы Адамса.

Если в разностной схеме (7) p=1, то получаются разностные методы Адамса.

Экстраполяционная формула Адамса (Адамса – Башфорта) для вычисления решения в точке строится с помощью интерполяционного многочлена Ньютона для конца таблицы, построенного по узлам

,

где , – конечные разности.

Выполняя интегрирование, получим формулу Адамса – Башфорта

,

где j=2,...,m

Аналогично строится интерполяционная формулы Адамса (Адамса – Мултона) с помощью узлов .

,

где j=1,...,m-1.

Такая форма записи k– шагового метода позволяет получить алгоритм реализации метода Адамса с автоматическим выбором его порядка (см. [6], гл.6 пункт 6.).

Если перейти от конечных разностей к значениям функций, то эти линейные многошаговые методы записываются в виде

Например, для k=2 явный (экстраполяционный) метод Адамса имеет вид

,

а неявный (интерполяционный) метод Адамса

.

Такая форма записи LMM удобна для построения методов Predictor- Corrector, в которых используются достоинства и явной (легко считать), и неявной (устойчивость) схем.

Методы Predictor- Corrector

Запишем неявный разностный метод в виде

, (9)

здесь зависит от известных значений .

Можно показать, что, если

,

где L— константа Липшица ( , ), то существует единственное решение уравнения (9), к которому сходятся итерации

.

Этот итерационный процесс удобен для автоматических вычислений. На каждом шаге требует только одно вычисление правой части. Если выбрано достаточно хорошее начальное приближение , то метод быстро сходится. Надлежащий выбор можно обеспечить с помощью явного разностного метода, который называют предсказующим (predictor). Комбинация явного метода и неявного– исправляющего (corrector) называется предсказующе – исправляющим методом, или методом predictor – corrector.

Рассмотрим метод predictor – corrector в обозначениях Халла – Кримера [6], P означает применение явной схемы, C – применение неявной, а E – вычисление правой части. Для иллюстрации возможных схем вычислений воспользуемся формулами методов Адамса второго порядка

Обозначим , и будем считать, что известно начало таблицы , , и рассмотрим схему вычисления

.

Цикл по j можно выполнять до тех пор, пока при m =t не будет достигнута точность (т.е. пока две последовательные итерации не станут достаточно близки), при этом число вычислений правой части может меняться от точки к точке и быть достаточно велико. Можно также выполнять заранее известное фиксированное число (t) итераций. Кроме того можно этот процесс сократить

.

уменьшив количество вычислений .

Расчет начала таблицы.

При вычислении с заданной точностью решения задачи Коши линейным k– шаговым методом s– ого порядка разумно выбрать шаг .

Первые k значений решения (начало таблицы) можно вычислить с помощью одношагового метода (например, метода Рунге–Кутты).

Для расчета начала таблицы используются также и линейные многошаговые методы. Расчет начала таблицы можно организовать, например, так. Сначала выбирается и рассчитываются два значения приближенного решения и с помощью одношагового линейного метода (можно использовать соответствующий метод Predictor- Corrector). Затем шаг удваивается , и с помощью начала таблицы и двухшагового линейного метода вычисляются значения и . Теперь шаг можно опять удвоить , и, используя и трехшаговый линейный метод, вычислить , , и . Далее шаг опять удваивается , используются значения , , и метод четвертого порядка. Этот процесс можно продолжать до тех пор, пока начало таблицы не будет содержать нужное число значений, и очередной шаг не будет приблизительно равен h.