5. Відношення логічного слідування. Правильність міркування.
Контрольні запитання та вправи.
Що таке транзитивність?
Як можна визначити чи є сумісними за істинністю деякі формули?
Що таке відношення логічного слідування?
Як можна перевірити чи є конкретне міркування правильним?
Чи можуть бути дві довільні формули одночасно сумісні за істинністю і сумісні за хибністю?
Використовуючи таблиці істинності доведіть, що наведені формули є рівносильними.
(p q) r;
(p r) q;
(q r) p.
7. За допомогою таблиць істинності знайдіть серед наведених формул рівносильні пари формул.
p (q r); (p r) (q r);
(p q) (p r); p (q r);
(p q) r; (q r) p.
8. Доведіть такі рівносильності:
(p q) (p q) рівносильно (p q);
(
p
q
r)
(p
q
r)
рівносильно І
(“істина”);p p p q q рівносильно (p q);
(
p
q
r
s)
рівносильно (p
q
r
s);(
p
q
r)
рівносильно (p
q
r);
(((p q) r) p) рівносильно (((p q) r) p).
9. За допомогою таблиць істинності обгрунтуйте такі рівносильності:
А (В С) рівносильно (А В) (А С) - дистрибутивність диз’юнкції відносно кон’юнкції;
А (В С) рівносильно (А В) (А С) – дистрибутивність кон’юнкції відносно диз’юнкції;
А (А В) рівносильно А – закон поглинання;
А (А В) рівносильно А – закон поглинання;
( А В) рівносильно А В – закон де Моргана;
( А В) рівносильно А В – закон де Моргана;
А В рівносильно А В;
( А В) рівносильно А В;
А В рівносильно В А – закон контрапозиції;
А (В С) рівносильно В (А С) – правило перестановки засновків.
10. Не складаючи таблиць істинності, встановіть відношення між чотирма кон’юнкціями:
А В; А В;
А В; А В.
11. Визначте яким відношенням пов’язані між собою висловлювання:
А (А В С) і А (В С).
12. За допомогою таблиць істинності визначте пари висловлювань, які сумісні за істинністю, а які сумісні за хибністю:
А В; (А В) (А В);
А В; В;
А В; А В.
13. Серед наведених прикладів знайдіть пари сумісних за істинністю висловлювань:
А; А В; В А;
В; А В.
14. Визначте відношення між такими висловлюваннями:
А (В С) і (А В С).
15. За допомогою таблиць істинності визначте чи існує відношення логічного слідування у наведених прикладах:
(А В) В А; (А В) (А В) В;
(А С) (В С) А В; (А В С) (А В) С;
( А В С) А В С; (А В) (С В) С.
16. Побудуйте таблиці істинності наведених формул і розташуйте їх у такому порядку щоб із кожної попередньої формули слідували усі, які стоять після неї:
А В; А В;
А (А В);
А В; А (В А).
17. Встановіть в яких випадках із першої формули слідує друга:
p q, p; p q, q p;
p, p q; p q, p q;
q, p q; (p q) p, q;
p q, p q; (p q) q, p.
p q, p q;
18. Перевірте правильність таких виводів:
А В;А В А В;А С
В В С
А В;ВС А В; С В
С А А С
А С; В С
В А .
19. Перевірте чи є сумісними за істинністю наведені висловлювання:
Цей студент був на лекції, але не читав підручник.
Цей студент був на лекції або не читав підручник.
Невірно, що цей студент не був на лекції або читав підручник.
Цей студент був на лекції і читав підручник або не був на лекції і не читав підручник.
Якщо цей студент читав підручник, тоді він був на лекції.
Тоді і тільки тоді цей студент читав підручник, коли він був на лекції.
РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА:
[ 1: с. 54-56, 58-59; 2: с. 95-97, 108-111; 4: с. 327-329; 6: с. 84-96; 23: с. 15-16, 26-32; 26: с. 79.-101;]
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ
(6 год.)
Визначте яким відношенням пов’язані між собою висловлювання:
А (А В С) і А (В С).
Методичні вказівки
Засвоюючи цю тему студентам необхідно пам’ятати, що висловлювання вважаються рівносильними тільки у тому випадку, коли вони істинні і хибні при однакових наборах значень пропозиційних змінних, що входять до їх складу. Іншими словами, останні стовпчики таблиць істинності (які фіксують логічні значення усього висловлювання) таких висловлювань повинні співпадати.
Наприклад, перевіримо чи є рівносильними такі висловлювання:
p q i p q
Для цього побудуємо для них таблицю істинності.
-
№
p
q
p
p q
p q
1.
і
і
х
і
і
2.
і
х
х
х
х
3.
х
і
і
і
і
4.
х
х
і
і
і
Із цієї таблиці істинності очевидно, що логічні значення цих висловлювань повністю співпадають, отже висловлювання є рівносильними.
Якщо між рівносильними висловлюваннями поставити логічний сполучник “” (еквіваленція), то створена формула виражатиме логічний закон. Щоб переконатися у цьому поєднаємо досліджувані висловлювання логічним сполучником «еквіваленція»:
( p q) (p q)
Перевіримо статус утвореної формули за допомогою таблиць істинності:
-
№
p
q
p
p q
p q
(p q) (p q)
1.
і
і
х
і
і
і
2.
і
х
х
х
х
і
3.
х
і
і
і
і
і
4.
х
х
і
і
і
і
У останньому стовпчику таблиці істинності формула набуває лише логічного значення “істина”, отже, вона виражає логічний закон.
Рівносильність двох формул логіки висловлювань позначають символом “”. Вираз “А В” читається так: “формула А рівносильна формулі В”.
Відношення рівносильності має такі особливості:
1) рефлексивність А А (будь-яка формула є рівносильною стосовно самої себе);
2) симетричність : якщо А В, то В А (якщо перша формула є рівносильною другій, то друга формула буде рівносильна першій);
3) транзитивність: якщо А В і В С, то А С (якщо перша формула є рівносильною другій, а друга – третій, то перша формула буде рівносильною третій).
Усі рівносильності логіки висловлювань є її законами. У цьому можна легко переконатися за допомогою таблиць істинності. Але, іноді, побудова таблиць істинності є досить громіздкою справою для визначення завжди істинних формул. І тому, розв’язання цієї задачі відбувається шляхом еквівалентних перетворень вихідних формул за допомогою законів логіки висловлювань. Розглянемо ці закони:
А
А
- закон подвійного заперечення;А В В А - закон комутативності для кон’юнкції;
А В В А - закон комутативності для диз’юнкції;
(А В) С А (В С) - закон асоціативності для кон’юнкції;
(А В) С А (В С) - закон асоціативності для диз’юнкції;
А (В С) (А В) (А С) – закон дистрибутивності кон’юнкції відносно диз’юнкції;
А (В С) (А В) (А С) – закон дистрибутивності диз’юнкції відносно кон’юнкції;
А А А - закон ідемпотентності для кон’юнкції;
А А А - закон ідемпотентності для диз’юнкції;
А ⊤ А - закон виключення тавтології (⊤) із кон’юнкції;
А ⊥ ⊥ - закон перетворення кон’юнкції у протиріччя (⊥- завжди хибна формула);
А ⊤ ⊤ - закон перетворення диз’юнкції у тавтологію;
А ⊥ А - закон виключення протиріччя із диз’юнкції;
А В А В - перший закон де Моргана;
А В А В - другий закон де Моргана;
А В (А В) - закон вираження кон’юнкції через диз’юнкцію;
А В (А В) - закон вираження диз’юнкції через кон’юнкцію;
А В А В - закон виключення імплікації;
А В (А В) (В А) – закон заміни еквіваленції;
А
В
(А
В)
(А
В)
- закон заміни сильної диз’юнкції;
А
(В
А) А
(В
А)
В
А (В А) А (В А) В закони
(А В) (А С) (А В) (А С) (В С) виявлення;
( А В) (А С) (А В) (А С) (В С)
(
А
В)
(А
В)
В
закони(А В) А А поглинання.
( А В) А А
З а допомогою цих законів (рівносильностей) можна одні формули перетворювати на інші. Такі перетворення здійснюються з метою спрощення формул. Наприклад, візьмемо формулу
(А В) С
Відповідно до другого закону де Моргана (А В А В) замінимо у досліджуваній формулі антецедент імплікації і отримаємо
(А В) С
Ця формула є рівносильною вихідній. Тепер застосуємо закон виключення імплікації (А В А В) і замінимо цю формулу на рівносильну їй:
(А В) С
В
ідповідно
до першого закону де Моргана (А
В А
В)
здійснимо заміну підформули (А
В)
на рівносильну їй:
А
В
С
Застосувавши закон подвідного заперечення (А А) отримаємо спрощену формулу, яка є рівносильною всім попереднім формулам:
А В С.
Студенту необхідно знати, що поряд із виділенням логічних законів у системі S1 розв’язується ще одна задача, яка встановлює логічні відношення між формулами. Зокрема, такі:
- відношення логічної сумісності за істинністю;
- відношення логічної сумісності за хибністю;
- відношення логічного слідування.
Відношення логічної сумісності між декількома формулами визначається за допомогою методу таблиць істинності. Для цього необхідно побудувати спільну таблицю істинності для цих формул.
Якщо у побудованій таблиці істинності знайдеться хоча б один рядок, де кожна із досліджуваних формуло дночасно набуває логічного значення “істина”, тоді такі формули сумісні за істинністю.
Якщо рядок, де формули є одночасно істинними відсутній, тоді формули є несумісними за істинністю. Переконаємося у цьому на прикладі.
Візьмемо формули: p q; q r; p r
-
№
p
q
r
p q
q r
p r
1.
і
і
і
і
і
і
2.
і
і
х
і
х
і
3.
і
х
і
і
і
і
4.
і
х
х
і
і
і
5.
х
і
і
і
і
і
6.
х
і
х
і
х
х
7.
х
х
і
х
і
і
8.
х
х
х
х
і
х
Із цієї таблиці істинності очевидно, що досліджувані формули є сумісними за істинністю, оскільки у 1, 3, 4, 5 рядках усі формули набувають логічного значення “істина”.
Якщо ж у побудованій таблиці істинності для декількох формул знайдеться хоча б один рядок, де кожна із досліджуваних формул набуває логічного значення “хиба”, тоді такі формули сумісні за хибністю.
Якщо рядок, де формули є одночасно хибними відсутній, тоді вони є несумісними за хибністю.
Розглянемо приклад. Візьмо формули p q; q r; p q .
Побудуємо для них спільну таблицю істинності.
-
№
p
q
r
p
r
p q
q r
p q
1.
і
і
і
х
х
і
х
х
2.
і
і
х
х
і
і
і
х
3.
і
х
і
х
х
і
х
х
4.
і
х
х
х
і
і
х
х
5.
х
і
і
і
х
і
х
і
6.
х
і
х
і
і
і
і
і
7.
х
х
і
і
х
х
х
х
8.
х
х
х
і
і
х
х
х
У останньому 7 і 8 рядку таблиці істинності усі формули набувають логічного значення “хиба”, а отже вони є сумісними за хибністю.
І нарешті, відношення логічного слідування визначається так: логічне слідування – це відношення, яке існує між засновками і висновком міркування.
Якщо засновки міркування представити у вигляді формули А, а його висновок - у вигляді формули В, тоді можна стверджувати, що із формули А логічно випливає формула В, коли імплікація А В є законом логіки.
Для позначення логічного слідування у логіці застосовують знак “”. Вираз “А В” читається так: “із А логічно слідує В”.
На підставі встановлення відношення логічного слідування між засновками і висновком міркування стає можливим встановити його правильність чи неправильність.
Міркування буде правильним, якщо із кон’юнкції його засновків логічно випливає висновок. Тобто, якщо між засновками міркування і його висновком встановлено відношення логічного слідування, то таке міркування буде правильним. Інакше, його необхідно оцінити як неправильне.
Щоб встановити правильність міркування необхідно виконати такі дії: