6. Побудова епюр нормальних і дотичних напружень для небезпечного розрізу двотаврової балки

Для побудови епюр нормальних і дотичних напруг, для небезпечного двотаврового перерізу, слід визначити ці напруги у характерних точках перерізу. Епюра нормальних напруг σ – це графік зміни величини нормальних напруг по висоті двотавра.

Максимальні нормальні напруги σ_max виникають у точках перерізу найбільш віддалених від нейтральної осі і визначаються за формулою:

де M_max – максимальний згинальний момент в небезпечному перерізі з епюри згинальних моментів (Н·м);

W_X – момент опору прийнятого перерізу відносно нейтральної осі (м³).

На нейтральній осі нормальні напруги відсутні, бо відсутня деформація.

Від бази епюри, яка паралельна висоті перерізу відкладаємо знайдені значення нормальних напруг σ у довільно обраному масштабі.

Епюра дотичних напруг – це графік зміни величини дотичних напруг по висоті двотавра. Дотичні напруги Τ у точках перерізу підраховуються за формулою Журавського:

де Q –поперечна сила у розрізі, яка досягає найбільшого значення Q_max=30кН;

S_X – статичний момент частини площі перерізу, що розташована вище точок, які розглядаються відносно нейтральної осі (м ³);

d – ширина перерізу на рівні нейтральної осі (м);

I_X – момент інерції двотаврового перерізу (м ⁴);

Дотичні напруги у перерізі з максимальною поперечною силою для точок на нейтральній осі:

де – статичний момент половини перерізу двотавра за ГОСТ 8239-89 (м³);

d, I_X – товщина стінки двотавра, момент інерції, за ГОСТ 8239-89.

За ГОСТ 8239-89 для двотавра № 24а:

=178см³;

I_X =3800см⁴;

З епюри Q видно що Q_max=30кН, тому:

Дотичні напруги в точках перерізу, найбільш віддалених від нейтральної осі (в крайніх волокнах небезпечного перерізу) відсутні.

Дотична напруга в точці переходу стінки двотавра до полки:

де – статичний момент полки відносно нейтральної осі (м³);

де У_С – відстань від центру ваги полки до нейтральної осі (м);

Розрахуємо дотичну напругу в точці К відносно стінки двотавра:

Розрахуємо дотичну напругу в точці К відносно полки двотавра за формулою:

де b – ширина перерізу полки (м);

Будуємо епюри нормальних та дотичних напруг у довільно обраному масштабі. Від бази епюри, яка паралельна висоті двотавра, відкладаємо знайдені значення нормальних (σ) та дотичних (Т) напруг в характерних точках.

σ_max в точках А і В дорівнюють 158 МПа.

Т_А = Т_В = о;

7. Повна перевірка міцності перерізу двотаврової балки

Для повної перевірки балки слід визначити небезпечну точку небезпечного перерізу двотавра. Це така точка, де нормальні напруги σ і дотичні напруги Т не максимальні, але розрахункові напруги досягають найбільшого значення. Такою точкою є точка в місці переходу від стінки двотавра до полки, тобто це точка К. Слід визначити значення σ і Т для цієї точки в перерізі, де достатньо великі М_Z і Q_Z, в нашому випадку це точка А балки з значеннями М_Z=50 кН·м і Q_Z= 23,3кН.

Нормальні напруги в цій точці:

де Y_K – відстань від небезпечної точки до нейтральної осі (м).

Дотичні напруги:

де Q – поперечна сила у перерізі, де М_max.

Повна перевірка міцності балки виконується за 3-ю гіпотезою міцності для пластичних матеріалів за умовою, коли

σ₃ ≤ [σ], де [σ] допустима напруга (МПа);

σ₃ – розрахункова напруга за 3-ю гіпотезою міцності, яка визначається за формулою:

Порівняємо σ₃ з [σ] та зробимо висновок щодо міцності та економічності двотаврової балки прийнятого перерізу, також знайдемо відсоток недонапруги або перенапруги:

148 МПа ≤ 160 МПа;

– якщо перенапруга;

– якщо недонапруга;

В нашому випадку недонапруга, тому використовуємо другу формулу:

7,5% ≥ 6%;

Бачимо що умова міцності виконується, отже двотавровий переріз балки №24а міцний, але відсоток недонапруги більший за 6%, тому перевіримо менший двотавр за номером №24, для якого:

h = 240 мм;

d = 5,6 мм;

I_x = 3460 см⁴;

t = 9,5 мм;

b = 115 мм;

Нормальна напруга у точці К:

Дотична напруга у точці К:

Розрахункова напруга у точці К:

Бачимо що 160 МПа ≤ 163 МПа, тобто [σ] ≤ σ_р, тому у нас перенапруга, знайдемо її відсоток:

1,876% ≤ 6%;

Висновок: остаточно приймаємо двотавр №24.