24. 12. Что положено в основу градиентных методов

Градиентные методы — численные методы решения с помощью градиента задач, сводящихся к нахождению экстремумов функции.

Методы градиента основан на движении к оптимуму в направлении градиента функции цели, т.е. кратчайшим путем.

Метод градиента связан с движением к оптимуму шагами в направлении наибыстрейшего изменения функции цели. Движение здесь приводит к оптимуму быстрее, чем при использовании метода релаксации.

Для определения направления движения сначала, как и при методе релаксации, находят значения частных производных по всем независимым переменным с учетом приближенных уравнений, характеризующих функцию цели. После установления направления градиента в рассматриваемой точке начинают движение в направлении, обратном градиенту, если стремятся к убыванию функции цели, или движутся по градиенту, если ведется поиск максимума.

При использовании градиентного метода каждый шаг связан с одновременным изменением значений всех независимых переменных. Величину каждого фактора (его приращение) меняют пропорционально соответствующей составляющей градиента на данной оси (для нормализованных факторов).

Зная направление вектора градиента, определяют направление наискорейшего изменения функции цели; скорость ее изменения в выбранном направлении обусловливается принятой величиной шага движения.

Два рассмотренных метода относятся к градиентным, так как в основу их положено вычисление градиента целевой функции. Достоинством градиентных методов является высокая скорость отыскания оптимальной точки, но это достоинство приходится оплачивать дорогим и сложным оборудованием, которое вычисляет, запоминает и использует величину градиента. Обычно это делает управляющая вычислительная машина. 

25. 13 Сущность безградиентного метода поиска целевой функции

Для решения задач при отсутствии явного аналитического описания функции цели используют безградиентные методы, основанные на пошаговом движении к оптимуму. В этом случае принимают во внимание информацию, полученную при сравнительной оценке критерия оптимизации после выполнения каждого очередного шага.

Метод последовательного симплекс-планирования связан с пошаговым движением в область оптимума, причем для каждого шага определяется только одно значение функции цели, независимо от числа факторов. Движение осуществляется путем последовательного отображения вершин регулярного симплекса в факторном пространстве. Процессы движения по поверхности отклика и ее изучение совмещены. Опыты проводятся только в тех точках факторного пространства, которые соответствуют вершинам симплекса. Поскольку направление движения симплекса в факторном пространстве не обязательно требует10 точной количественной оценки значений критерия оптимизации, наихудшую ситуацию можно определить приближенно. Качественная оценка вершин симплекса позволяет успешно решать задачи оптимизации в тех случаях, когда невозможно получить объективные количественные показатели, характеризующие критерий оптимизации [3].

При решении задачи оптимизации технологических пр