21. Обработка результатов эксперимента

Для представления физических закономерностей, а также при проведении научно – технических расчетов часто используются зависимости вида y(x), причем число заданных точек этих зависимостей ограничено. Неизбежно возникает задача приближенного вычисления значений функций в промежутках между узловыми точками (интерполяция) и за их пределами (экстраполяция). Эта задача решается аппроксимацией исходной зависимости, то есть ее подменой какой – либо достаточно простой функцией. Система Mathcad представляет возможность аппроксимации двумя важными типами функций: кусочно – линейной и сплайновой.

22 Одномерная линейная аппроксимация

При кусочно – линейной интерполяции вычисления дополнительных точек выполняется по линейной зависимости. Графически это означает просто соединение узловых точек отрезками прямых, для чего используется следующая функция:

linterp (VX,VY,x)

Для заданных векторов VX и VY узловых точек и заданного аргумента х данная функция возвращает значение функции при ее линейной аппроксимации. При экстраполяции используются отрезки прямых, проведенные через две крайние точки. Пример линейной интерполяции приведен на слайде 6.1.

23. Одномерная сплайн – интерполяция и аппроксимация

При небольшом числе узловых точек (менее 10) линейная интерполяция оказывается довольно грубой. При ней даже первая производная функции аппроксимации испытывает резкие скачки в узловых точках. Для целей экстраполяции функция linterp (VX,VY,x) не предназначена и за пределами области определения может вести себя непредсказуемо.

Гораздо лучшие результаты дает сплайн – аппроксимация. При ней исходная функция заменяется отрезками кубических полиномов, проходящих через три смежные узловые точки. Коэффициенты полиномов рассчитываются так, чтобы непрерывными были первая и вторая производные. Линия, которую описывает сплайн – функция, напоминает по форме гибкую линейку, закрепленную в узловых точках (откуда и название аппроксимации: splain – гибкая линейка).

Для осуществления сплайновой аппроксимации система М предлагает 4 встроенные функции. Три из них служат для получения векторов вторых производных сплайн – функций при различном виде интерполяции:

1. cspline(VX,VY ) – возвращает векторVS вторых производных при приближении в опорных точках к кубическому полиному;

2. pspline(VX,VY ) – возвращает векторVS вторых производных при приближении в опорных точках к параболической кривой;

3. lspline(VX,VY ) – возвращает векторVS вторых производных при приближении в опорных точках к прямой;

4. interp (VS,VX,VY,x)- возвращает значение y(x) заданных векторов VS,VX,VY и заданного значения х.

Таким образом, сплайновая аппроксимация проводится в два этапа. На первом с помощью функций (1-3) отыскивается вектор вторых производных функции y(x), заданной векторами VX,VY ее значений.

24. Выполнение регрессии

Другой широко распространенной задачей обработки данных является представление их совокупности некоторой функцией у(х). Задача регрессии заключается в в получении параметров этой функции такими, чтобы функция приближала «облако» исходных точек (заданных векторами VX,VY) с наименьшей среднеквадратичной погрешностью. Результаты интерполяции сплайном представлены на слайде 6.2 и демонстрируют значительное преимущество перед линейной интерполяцией.