Тема: Оценка параметров генеральной совокупности

Теорема 1: выборочная доля повторной выборки есть несмещенная и состоятельная оценка генеральной доли , причем дисперсия

, ( )где .

Теорема 2: выборочная средняя повторной и бесповторной выборки есть несмещенная и состоятельная оценка генеральной средней , причем ее дисперсия

( ).

Теорема 3. Выборочная дисперсия s² повторной и бесповторной выборок есть смещенная и состоятельная оценка генеральной дисперсии .

Выборочная дисперсия занижает генеральную дисперсию. Поэтому, заменяя на s², мы допускаем систематическую погрешность в меньшую сторону. Чтобы ее ликвидировать, достаточно ввести поправку, умножив s²- на . Тогда с учетом получим «исправленную» выборочную дисперсию

Т.е. является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной дисперсии .

Дисперсию «исправляют» в случае, когда объем выборки меньше 30 вариантов.

Пример. Найти несмещенную оценку средней и дисперсии случайной величины Х на основании данного распределения выборки

xi	2	7	9	10	∑
ni	2	9	10	8	29

Решение:

Составим расчетную таблицу

хi	ni
2	2	4	76,197
7	9	63	12,3709
9	10	90	6,848
10	8	80	26,721
Сумма	29	237	122,138

Найдем среднюю выборочную:

По теореме 2 средняя выборочная является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной средней, поэтому

Найдем выборочную дисперсию:

Дисперсия при n < 30 в силу теоремы 3 является смещенной и состоятельной оценкой генеральной дисперсии, поэтому ее необходимо «исправить»:

Теперь дисперсия является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной дисперсии.