5 Дәріс. Сығылмайтын сұйықтардың қалыптасқан фильтрациясы – игерудің суарынды режимін моделдеу

Сығылмайтын сұйықтықтың қалыптасқан фильтрациясының дифференциалдық теңдеуі. Егер сұйықтық сығылмайтын болса, онда оның күй теңдеуі болады да, кеуектілігі m = const тең болады. Сол кезде ағынның үздіксіз теңдеуі мына түрге келеді:

(1)

(1)-теңдеуіне Vx, Vy , Vz қойсақ, келесіні шығарамыз:

немесе

(2)

1. Бірөлшемді түзу сызықты–параллельді фильтрациялық ағынындағы негізгі гидродинамикалық мінездемесінің есебі.

Тұрақты h қалыңдығы және B ені бар көлденнен бағыттылған қоектену өнбойында тұрақты p_к қысымы, ал қоректену өнбойынан L_к қашықтықта орналасқан өндіруші галереядағы тұрақты қысым P_г деп алайық.

Тоқ сызығын жағалай Ох координата осін, ал Оу осін контурлық тағам бойымен бағыттаймыз (сур. 1).

ҚА- Р_к ұңғылар

Z B

галерея - Р_г

у h

O x

L_k

1-сурет. Бірөлшемді түзусызық - параллельді фильтрациялық ағыны

Тек Х координатасы өзгеретіндіктен, (2)-теңдеу мына түрде болады.

(3)

Ол мына шектік шарттар кезінде орындалады:

егер x=0; P=P

егер x=L P=P (4)

(3)-теңдеуді 2-рет интегралдап және (4)-ші шарты орындап, қабаттағы қысымның таралу заңын аламыз:

P=P - (5)

Қысымның градиентін табамыз:

Онда фильтрация жылдамдығы:

(6)

Галерея дебиті былай анықталады:

мұнда F = Bh - қабатаның көлденең қимасының ауданы.

6-ші теңдеуді ескере отырып, мынаны шығарамыз:

(7)

Сұйықтың бөлшегінің қозғалу заңын мына формула бойынша шығарамыз:

(8)

Айнымалыларды бөліп және (6)–теңдеуді ескере отырып, интегралдаудан кейін шығады:

(9)

х = Lk кезінде қабатынан сұйықтықты толық таңдау уақытын (Т) (9)-теңдеу арқылы табамыз:

(10)

Көлемі бойынша орташа өлшенген қабат қысымын (Р) мына формула бойынша табамыз:

(11)

мұнда

(12)

(13)

2. Бір өлшемді жазық-радиальды фильтрациялық ағымының негізгі гидродинамикалық мінездемесінің есебі.

Һ тұрақты қалыңдығы бар біртекті көлденең айналмалы қабат орталығында орналасқан радиусы r_с гидродинамикалық жетелдірілген ұңғыға қарай сығылмайтын сұйықтың ағып жатыр делік. Қоректену өнбойы ретінде қолданылатын радиусы r_к қабаттық сыртқы айналмалы шегінде Р тұрақты қысымы қалыптасқан, ал ұңғы түбіндегі Р қысым да тұрақты болады (сур. 2).

Ұңғы қабырғасы - Р_с

r_c коректену аймағы - Р_к

r_k r_к

2-сурет. Бірөлшемді жазықрадиалды фильтрациялық ағынның сұлбасы

Дифференциалдық теңдеу бұл жағдайда былай болады:

0 (14)

r= алмастыруды енгізе отырып (14)-теңдікті сәйкесінше түрлендіргенде мынаған тең:

= 0 немесе = 0 (15)

(15)-теңдеуді келесі шекті шартпен есептейміз:

P=P_к болғанда r=r_к

P=P_с болғанда r=r_с (16)

(15)-формуланы екі рет интегралдан шығарып, (16)-формуланы ескере отырып қысымның таралу заңын табамыз:

(17)

Сүзілу (фильтрация) жылдамдығы:

= (18)

Ұңғыма шығымы (дебиті):

мұндағы –үстіңгі қабат, бұл арқылы сүзілу процесі өтеді және (18)-формуланы ескерсек:

Онда

(19)

Осы (19) формуланы біз Дюпюи формуласы деп атаймыз.

Ұңғы шығымының Q қысым өзгерісіне ΔР қатынасы ұңғының өнімділік коэффициентін (К) береді. (19)- формуладан:

(20)

Сұйықтық бөлшектерінің қозғалыс заңын мына формуладан табамыз:

немесе

(21)

Енді (18) формуланы (21) формулаға қойып, 0-ден t-ға дейін және r -дан r дейінгі аралықта интегралдағанда мынаны аламыз:

(22)

Қабаттан алынған сұйықтықтың толық таңдап алыну уақыты Т, (22) формуладан алынған r=r_с арқылы анықталады.

Олай болса

(23)

кеуекті кеңістіктің көлем бойынша, орта есеппен өлшенген қабатық қысым мына қатынастан табылады:

(24) мұндағы

V =

(25)

(24)-ке (17) және (25) формулаларды қоя отырып және шыққан мәнді r -тан r -ға дейін интегралдап мынаны аламыз.

(26)

r_с << r_к, яғни r_с → 0 -деп (26)-формула алынған.

Негізгі әдебиеттер: Нег. 1[ 51-68 ]

Қосымша әдебиеттер: Қос.3[ 51-65 ], 5[23-32]

Бақылау сұрақтары:

1.Қалыптасқан фильтрация.

2. Қарапайым фильтрациялық ағын.

3. Қабат қысымы орташа көлемдігі бойынша.

4. Дюпюи формуласы.

5. Индикаторлық диаграмма.