Выбор и обоснование используемых методов решения.

1. Для решения задачи одномерной оптимизации будет использован метод золотого сечения: Этот метод эффективен с точки зрения количества вычислений функций на отдельной итерации, хотя проигрывает методу дихотомии по количеству требуемых итераций для достижения заданной точности. 2. Для проведения численного интегрирования выберем метод Симпсона:

Так как в состав наших подынтегральных функции входит нелинейные, поэтому большей точностью будет обладать метод Симпсона.

3. Для решения нелинейного уравнения выберем метод половинного деления:

Метод половинного деления сходится для любых непрерывных функций f(x) в том числе недифференцируемых. Последнее является преимуществом, т.к. вычисление производной сложной функции достаточно проблематично.

Описание методов решения.

Метод золотого сечения.

В основу метода положено разбиение отрезка неопределенности [a;b] в соотношении золотого сечения, такого, что отношение длины его большей части ко всей длине отрезка равно отношению длины его меньшей части к длине его большей части:

l

l₂ l₁

где k₁, k₂ - коэффициенты золотого сечения.

В методе золотого сечения каждая точка (х₁ и х₂)осуществляет золотое сечение отрезка.

или

Точка х₁ осуществляет золотое сечение не только отрезка [a;b], но и отрезка [a;х₂]. Точно так же точка х₂ осуществляет золотое сечение не только отрезка [a;b], но и отрезка [х₁;b]. Это приводит к тому, что значение целевой функции на каждой итерации (кроме первой) вычисляется один раз.

Сокращение отрезка неопределенности следующим образом:

1) если f(x₁)  f(x₂), то x*[a₀;x₂]

2) если f(x₁) > f(x₂), то x*[x₁;b₀]

После каждой итерации длина отрезка неопределенности сокращается в 1.618 раза. Длина конечного отрезка неопределенности _n = 0.618ⁿ₀, где ₀= (b-a) – начальная длина отрезка.

Условие окончания процесса итераций _n . Отсюда можно найти количество итераций, необходимое для достижения точки минимума:

отсюда или

Формула Симпсона.

Для получения формулы Симпсона применяется квадратичный интерполирующий полином. За элементарный интервал интегрирования принимается отрезок [x_i;x_i+2]. Поэтому интервал интегрирования [a;b] разбивается на n отрезков, где n=2m – четное число (рис.2).

Для всего интервала интегрирования [a;b] формула Симпсона выглядит следующим образом:

Тестирование процедур.

Для проверки правильности процедуры, реализующей метод золотого сечения, в качестве теста используем функцию , имеющую на отрезке [0;6] единственный минимум Xmin= 4 , а значение функции в этой точке f(Xmin)=16.

Проведем проверку правильности тестовых данных с использованием средств пакета MathCad:

Код программы:

Option Strict On

Option Explicit On

Imports System.Math

Public Class Form6

'процедура ввода

Sub vvod(ByVal t As TextBox, ByRef x As Double)

x = Val(t.Text)

End Sub

'процедура вывода

Sub vivod(ByVal x As Double, ByVal T As TextBox)

T.Text = CStr(x)

End Sub

'целевая функция

Function f(ByVal x As Double) As Double

Return -((x - 4) ^ 2) + 16

End Function

'метод золотого сечения на отрезке [o1,o2]

'а2-оптимальное значение параметра

Sub gold(ByVal o1 As Double, ByVal o2 As Double, ByVal Eee As Double, _

ByRef a2 As Double, ByRef k As Double, ByRef z As String)

Dim k1, k2, x1, x2, f1, f2 As Double

k1 = (3 - Sqrt(5)) / 2

k2 = 1 - k1

x1 = o1 + k1 * (o2 - o1)

x2 = o1 + k2 * (o2 - o1)

f2 = f(x1)

z = ""

Do Until (o2 - o1) < Eee

If (-f1) < (-f2) Then

o2 = x2 : x2 = x1

x1 = o1 + k1 * (o2 - o1)

f2 = f1

f1 = f(x1)

Else

o1 = x1 : x1 = x2 : f1 = f2

x2 = o1 + k2 * (o2 - o1)

f2 = f(x2)

End If

z = z + Format(o1, "0.00000") + Space(3) + Format(o2, "0.00000") + Space(3) + Format(x1, "0.00000") + Space(3)

z = z + Format(x2, "0.00000") + Space(5) + Format(f1, "0.00000") + Space(5) + Format(f2, "0.00000") + Space(4) + Format(o2 - o1, "0.00000") + vbNewLine

Loop

a2 = (o1 + o2) / 2

k = f(a2)

End Sub

Private Sub Button12_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button12.Click

Dim z As String = ""

vvod(TextBox13, Eee)

vvod(TextBox14, o1)

vvod(TextBox15, o2)

gold(o1, o2, Eee, a2, k, z)

TextBox16.Text = z

vivod(a2, TextBox17)

vivod(k, TextBox18)

End Sub

Private Sub Button13_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button13.Click

Form5.Show()

Me.Hide()

End Sub

Private Sub Button14_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button14.Click

Form7.Show()

End Sub

End Class

Результат выполнения:

Результаты, полученные при тестировании, совпадают с истинными. Программа работает верно.

Метод Симпсона.

Для проверки правильности процедуры, реализующей метод Симпсона, в качестве теста используем интеграл

Схема алгоритмов:

Код программы:

Option Strict On

Option Explicit On

Imports System.Math

Public Class Form7

'процедура ввода

Sub vvod(ByVal t As TextBox, ByRef x As Double)

x = Val(t.Text)

End Sub

'процедура вывода

Sub vivod(ByVal x As Double, ByVal T As TextBox)

T.Text = CStr(x)

End Sub

'целевая функция

Function f(ByVal x As Double) As Double

Return -((x - 4) ^ 2) + 16

End Function

Sub reshenie1i(ByVal a As Double, ByVal b As Double, ByVal Eee As Double, ByRef I1 As Double)

Dim n, i, ccc As Integer

Dim h, s1, x As Double

n = 2

h = (b - a) / n

I1 = (f(a) + 4 * f((a + b) / 2) + f(b)) * h / 3

Do

n = n * 2

h = (b - a) / n

s1 = I1

ccc = 4

x = a

I1 = f(a) + f(b)

For i = 1 To n - 1

x = x + h

I1 = I1 + ccc * f(x)

ccc = 6 - ccc

Next

I1 = I1 * h / 3

Loop Until Abs(I1 - s1) / 15 < Eee

End Sub

Private Sub Button15_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button15.Click

Dim a, b, Eee, I1 As Double

vvod(TextBox19, Eee)

vvod(TextBox20, a)

vvod(TextBox21, b)

reshenie1i(a, b, Eee, I1)

vivod(I1, TextBox22)

End Sub

Private Sub Button16_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button16.Click

Form6.Show()

Me.Hide()

End Sub

Private Sub Button17_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button17.Click

Form8.Show()

End Sub

End Class

Результат выполнения:

Результаты, полученные при тестировании, совпадают с истинными. Программа работает верно.

Метод половинного деления.

Для проверки правильности процедуры, решим уравнение –(x-4)^2+16 = 0

Схема алгоритмов:

Код программы:

Option Strict On

Option Explicit On

Imports System.Math

Public Class Form8

'процедура ввода

Sub vvod(ByVal t As TextBox, ByRef x As Double)

x = Val(t.Text)

End Sub

'процедура вывода

Sub vivod(ByVal x As Double, ByVal T As TextBox)

T.Text = CStr(x)

End Sub

'целевая функция

Function f(ByVal x As Double) As Double

Return -((x - 4) ^ 2) + 16

End Function

'решение уравнения

Sub reshenieUr(ByVal с As Double, ByVal ee As Double, ByVal Eee As Double, ByRef Xx As Double)

Dim Cc, EEEe, f1, f2, f3 As Double

Dim n As Integer

Cc = c

EEEe = ee

n = 0

Do

n = n + 1

Xx = (Cc + EEEe) / 2

f1 = f(Cc)

f2 = f(Xx)

f3 = f(EEEe)

If (f2 * f3 < 0) Then

Cc = Xx

Else

EEEe = Xx

End If

Loop Until Abs(EEEe - Cc) < Eee

End Sub

Private Sub Button18_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button18.Click

Dim c, ee, Xx, Eee As Double

vvod(TextBox24, Eee)

vvod(TextBox26, c)

vvod(TextBox23, ee)

reshenieUr(c, ee, Eee, Xx)

vivod(Xx, TextBox25)

End Sub

Private Sub Button19_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button19.Click

Form7.Show()

Me.Hide()

End Sub

Private Sub Button20_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button20.Click

End

End Sub

End Class

Результат выполнения:

Результаты, полученные при тестировании, совпадают с истинными. Программа работает верно.