6.3. Ошибки выборки

Расчет ошибок позволяет решить одну из главных проблем организации выборочного наблюдения – оценить репрезентативность (представительность) выборочной совокупности.

Теорема П.Л. Чебышева утверждает принципиальную возможность определения генеральной средней по данным случайной повторной выборки. Теорема Чебышева дополняется теоремой А.М. Ляпунова, которая позволяет рассчитать максимальную ошибку выборочной средней при данном достаточно большом числе независимых наблюдений в генеральной совокупности с конечной средней и ограниченной дисперсией вероятности того, что расхождение между выборочной и генеральной средней не превзойдет по абсолютной величине некоторую величину , равную интегралу Лапласа. Это можно записать следующим образом:

;

где – интеграл Лапласа (нормированная функция Лапласа).

Величина , обозначаемая , называется предельной ошибкой выборки. Различают среднюю и предельную ошибки выборки. Эти два вида ошибок связаны следующим соотношением:

,

где  – предельная ошибка выборки;  – средняя ошибка выборки; t – коэффициент доверия, определяемый в зависимости от уровня вероятности.

Величина средней ошибки выборки рассчитывается дифференцированно в зависимости от способа отбора и процедуры выборки.

Так, при случайном отборе средняя ошибка определяется по формулам:

1) при повторном отборе: ;

2) при бесповторном отборе: ,

где – выборочная (или генеральная) дисперсия;  – выборочное (или генеральное) среднее квадратическое отклонение; n – объем выборочной совокупности; N – объем генеральной совокупности.

Можно определить предельные ошибки выборки и для доли признака. В этом случае дисперсия доли определяется по формуле

где – доля единиц, обладающих данным признаком в выборочной совокупности.

Тогда при случайном отборе предельная ошибка может вычисляться по формуле:

1) при повторном отборе: ;

2) при бесповторном отборе: .

Пределы доли признака в генеральной совокупности определяются следующим образом:

.

При расчете ошибок возникает существенное затруднение, так как величины  и p по генеральной совокупности неизвестны. Эти величины в условиях большой выборки заменяют величиной S (выборочная дисперсия) и w (выборочная доля), рассчитанными по выборочным данным.

Формулы предельной ошибки позволяют решать задачи трех видов.

1. Определение пределов генеральных характеристик с заданной степенью надежности (доверительной вероятностью).

Расчет средней и предельной ошибок выборки позволяет определить возможные пределы, в которых будут находиться характеристики генеральной совокупности. Например, для выборочной средней такие пределы устанавливаются на основе следующих соотношений:

;

,

где и – генеральная и выборочная среднее соответственно;  – предельная ошибка выборочной средней.

2. Определение доверительной вероятности того, что генеральная характеристика может отличаться от выборочной не более чем на определенную заданную величину.

Доверительная вероятность является функцией от t , определенной по формуле

.

По величине t определяется доверительная вероятность . На практике пользуются готовыми таблицами этой функции . В табл. 6.1 приведены некоторые значения t и .

Таблица 6.1. Значения вероятности для коэффициента доверия t

t	1,000	1,5	2,0	2,5	2,6	3,0	4,0
	0,683	0,867	0,954	0,988	0,991	0,997	0,9999

3. Определение необходимого объема выборки, который с практической вероятностью обеспечивает заданную точность выборки.

Объем выборки можно вычислить по следующим формулам.

Случайная и механическая выборка:

1) повторная: ;

2) бесповторная: .

Покажем практическое применение рассмотренной выше методики на следующих примерах.

Пример 6.1. [7] При проверке веса импортируемого груза на таможне методом случайной повторной выборки было отобрано 200 изделий. В результате был установлен средний вес изделия 30 г при среднем квадратическом отклонении 4 г. С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится средний вес изделий в генеральной совокупности.

Решение. Для вероятности  = 0,997 определяем по табл. 6.1 значение коэффициента доверия t = 3. Объем выборки n = 200 и = 4.

Рассчитаем предельную ошибку выборки:

= = 3 4/ = 0,84.

Определим пределы генеральной средней:

30 – 0,84 < х < 30 + 0,84,

или 29,16 < х< 30,84.

Следовательно, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний вес изделий в генеральной совокупности находится в пределах от 29,16 до 30,84 г.

Пример 6.2. [7] С целью определения средней фактической продолжительности рабочего дня в государственном учреждении с численностью рабочих 480 человек была проведена 25 %-ная механическая выборка. По результатам наблюдения оказалось, что у 10 % обследованных рабочих потери рабочего времени составили более 45 минут в день. С вероятностью 0,683 установить пределы, в которых находится генеральная доля служащих с потерями рабочего времени более 45 минут в день.

Решение. Определяем объем выборочной совокупности:

n = 480 = 120 человек.

Выборочная доля w равна по условию 10 %. По табл. 6.1 определяем, что для вероятности  = 0,683 коэффициент доверия t = 1. Учитывая, что при достаточно большой совокупности механический отбор по точности результатов близок к случайному отбору, для определения средней ошибки используем выше приведенные формулы:

= или 2,4 %.

Пределы доли признака в генеральной совокупности:

10 – 2,4 p  10 + 2,4,

или

7,6 p  12,4.

Таким образом, с вероятностью 0,683 можно утверждать, что доля работников учреждения с потерями времени более 45 минут в день находится в пределах от 7,6 до 12,4 %.

Ошибки и пределы генеральных характеристик при других способах формирования выборочной совокупности определяются на основе формул, отражающих особенности этих видов выборки. В случае типической выборки показателем вариации является средняя из внутригрупповых дисперсий , при серийной выборке – межгрупповая дисперсия .

Для типической выборки средняя ошибка вычисляется по формулам:

1) при отборе, пропорциональном объему типических групп:

– повторный отбор;

– бесповторный отбор;

2) при отборе, непропорциональном объему групп:

– повторный отбор;

– бесповторный отбор,

где N_i, n_i – объемы i-й типической группы и выборки из нее соответственно; – групповые дисперсии.

При серийной выборке средняя ошибка определяется следующим образом:

– повторный отбор;

– бесповторный отбор,

где r – число серий в выборочной совокупности; R – число серий генеральной совокупности; ² – межгрупповая, межсерийная дисперсии;

.

Пример 6.3. [7] В области, состоящей из 20 районов, проводилось выборочное обследование урожайности на основе отбора серий (районов). Выборочные средние урожайности по районам составили соответственно: 14,5; 16; 15,5; 15; 14 ц/га. С вероятностью 0,954 найти пределы урожайности во всей области:

Решение. Рассчитаем общую среднюю:

Межгрупповая дисперсия:

Определяем предельную ошибку серийной бесповторной выборки (t = 2, P = 0,954):

Урожайность в области с вероятностью 0,954 будет находиться в пределах:

Следовательно, урожайность в области с вероятностью 0,954 будет находится в пределах от 13,3 до 16,7 ц/га.

Объем выборки можно вычислить следующим образом.

1. Типическая выборка:

повторный отбор – ;

бесповторный отбор – .

2. Серийная выборка:

повторный отбор – ;

бесповторный отбор – .

Пример 6.4. [7] В 100 туристических агентствах города предполагается провести обследование среднемесячного количества реализованных путевок методом механического отбора. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,683 ошибка не превышала трех путевок, если по данным пробного обследования дисперсия составляет 225?

Решение. По табл. 6.1 определяем для вероятности  = 0,683 коэффициент доверия t = 1.

Рассчитаем необходимый объем выборки:

= .

Следовательно, нужно обследовать 20 агентств, чтобы с вероятностью 0,683 ошибка не превышала трех путевок.

Пример 6.5. [7] С целью определения доли сотрудников коммерческих банков в возрасте старше 40 лет предполагается организовать типическую выборку пропорционально численности сотрудников мужского и женского пола с механическим отбором внутри групп. Общее число сотрудников 12000 человек, в том числе 7000 мужчин, 5000 женщин.

На основе предыдущих обследований известно, что средняя из внутригрупповых дисперсий составляет 1600. Определить необходимый объем выборки при вероятности 0,997 и ошибке 5 %.

Решение. Рассчитаем общую численность типической выборки:

Для вероятности  = 0,997 коэффициент t = 3 (табл. 6.1). Число серий генеральной совокупности – это общее число сотрудников (R = 12000).

чел.

Вычислим объем отдельных типических групп:

мужчины = человек;

женщины = человек.

Таким образом, необходимый объем выборочной совокупности сотрудников коммерческих банков составляет 550 человек, в том числе 319 мужчин и 231 женщина.