5.2. Моменты распределения

Одна из задач анализа рядов распределения – выявление закономерностей распределения, определение его характера и количественного выражения. Кроме уже рассмотренных показателей, важной характеристикой рядов распределения являются моменты распределения.

Момент распределения M_k – средняя арифметическая из отклонений значений признака x_i от некоторой постоянной величины a в степени k. Порядок момента определяется значением k. Момент k-го порядка определяется как

M_k =

В зависимости от величины a различают начальные, центральные, условные моменты.

Если a = 0, моменты называются начальными и рассчитываются как

M_k = .

При k = 0 получим начальный момент нулевого порядка, равный M₀ = 1.

При k = 1 получим начальный момент первого порядка, равный M₁ = .

При k = 2 получим начальный момент второго порядка, равный M₂ = .

Начальные моменты используются при расчете дисперсии:

² = M₂ – = – ².

Если a =  , моменты называются центральными и рассчитываются как

m_k = ;

m_k = .

При k = 0 получим центральный момент нулевого порядка, равный m₀ = 1.

При k = 1 получим центральный момент первого порядка, равный m₁ = 0.

При k = 2 получим центральный момент второго порядка, равный m₂ = ² (дисперсии) и являющийся мерой вариации признака.

Если постоянная величина равна a, моменты называются условными и рассчитываются как

m_k = .

5.3. Сложение дисперсий изучаемого признака

Изучая дисперсию интересующего нас признака в пределах исследуемой совокупности и опираясь на общую среднюю в расчетах, нельзя оценить влияние отдельных факторов, определяющих колеблемость индивидуальных значений (вариант) признака. Это можно сделать при помощи метода группировок, когда единицы изучаемой совокупности подразделяются на однородные группы по признаку-фактору. При этом кроме общей средней для всей совокупности исчисляются средние по отдельным группам (групповые или частные средние) и три показателя дисперсии: общая дисперсия; межгрупповая дисперсия; средняя внутригрупповая дисперсия.

Величина общей дисперсии ² характеризует вариацию признака под влиянием всех факторов, формирующих уровень признака у единиц данной совокупности, и определяется по формуле

,

где – общая средняя арифметическая для всей изучаемой совокупности.

Межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних ²) отражает систематическую вариацию, т.е. те различия в величине изучаемого признака, которые возникают под влиянием фактора, положенного в основу группировки. Межгрупповая дисперсия определяется по формуле

,

где – средняя по отдельной группе, – число единиц в определенной группе.

Средняя внутригрупповая дисперсия характеризует случайную вариацию, возникающую под влиянием других, неучтенных факторов, и не зависит от условия (признака-фактора), положенного в основу группировки.

Средняя внутригрупповая дисперсия определяется по формуле

Указанные дисперсии взаимосвязаны между собой следующим равенством: величина общей дисперсии равна сумме межгрупповой дисперсии и средней внутригрупповой дисперсии:

.

Это тождество отражает закон (правило) сложения дисперсий. Опираясь на это правило, можно определить, какая часть (доля) общей дисперсии складывается под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки.