4.4. Структурные средние величины

Структурные средние – мода и медиана – в отличие от степенных средних, которые в значительной степени являются абстрактной характеристикой совокупности, выступают как конкретные величины, совпадающие с вполне определенными вариантами совокупности. Это делает их незаменимыми при решении ряда практических задач.

Модой называется значение признака, которое наиболее часто встречается в данном ряду распределения, т.е. имеет наибольшую частоту (частость).

В дискретном ряду мода определяется визуально по максимальной частоте или частости.

Моду и медиану можно определить на основе графического изображения ряда.

Мода определяется по гистограмме распределения. Вначале отыскивается модальный интервал. Для этого правую вершину модального прямоугольника соединяют с правым верхним углом предыдущего прямоугольника, а левую вершину модального прямоугольника – с левым верхним углом следующего прямоугольника. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Определение по графику значения моды

Моду можно определить и по формуле

,

где – левая граница модального интервала; b – величина модального интервала; – частота модального интервала; – частота интервала, предшествующего модальному; – частота интервала, следующего за модальным.

Медиана – это значение признака, приходящееся на середину ранжированной совокупности, т.е. это вариант, который делит ряд распределения на две равные по объему части. При симметричном значении распределения статистической величины мода и медиана совпадают со средним значением этой величины: .

Для определения медианы сначала определяют ее место в ранжированном ряду, используя формулу

,

где п – число членов ряда.

Если совокупность содержит четное число значений варьирующего признака (п = 2 k, k = n/2), то в этом случае за медиану условно принимают значение

,

так как в ряду нет члена, который делил бы совокупность на две равные по объему группы.

В дискретном ряду распределения медиана определяется непосредственно по накопленной частоте, соответствующей номеру медианы.

Пример 4.11. На кафедре работают 7 преподавателей. Требуется найти медиану (медианное значение) возраста преподавателей. Запишем в виде ряда номера преподавателей в порядке увеличения возраста (табл. 4.9).

Таблица 4.9. Распределение преподавателей по возрасту

Номер	1	2	3	4	5	6	7
Возраст, лет	32	35	40	45	46	50	58

Место медианы в ранжированном ряду определяем по формуле

.

Следовательно, медианный возраст преподавателей – 45 лет.

В интервальном ряду распределения сначала указывают интервал, в котором находится медиана.

Медианным является первый интервал, в котором сумма накопленных частот превысит половину общего числа наблюдений.

Медиана определяется по кумуляте. Для ее определения высоту наибольшей ординаты, которая соответствует общей численности, делят пополам. Через полученную точку проводят прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения ее с кумулятой. Абсцисса точки пересечения является медианной величиной.

Приближенное значение медианы определяется по формуле

,

где – нижняя граница медианного интервала; – накопленная частота интервала, предшествующего медианному, – частота медианного интервала.

Пример 4.12. Рассчитать моду и медиану по данным табл. 4.10.

Таблица 4.10. Распределение обуви, проданной коммерческой фирмой

в январе 2002 г.

Размер	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44 и более	Ито-го
Количество проданных пар,  к итогу	3	5	7	9	10	13	15	14	20	3	1	100
Накопленные частоты	3	8	15	24	34	47	62	76	96	99	100	–

В этом ряду распределения мода равна 42. Именно этот размер обуви в январе 2002 г. пользовался наибольшим спросом.

Для определения медианы надо подсчитать сумму накопленных частот ряда. Наращивание продолжается до получения накопленной суммы частот, впервые превышающей половину. В нашем примере сумма частот составила 100, ее половина – 50. Накопленная сумма частот ряда, впервые превышающая половину равна 62, ей соответствует значение признака, равное 40. Таким образом, 40-й размер обуви является медианным.