8.2. Энергетический выигрыш кодирования

Важным для практики является вопрос о целесообразности применения корректирующих кодов для повышения помехоустойчивости передачи информации в по каналам телекоммуникационных систем. Этот вопрос решается с учетом следующего.

Введение избыточности при кодировании изменяет не только затраты полосы частот на передачу кодированных сигналов, но также требует учета избыточности при выполнении энергетических расчетов. Действительно, в соответствии с формулой (8.3) вероятность ошибки канальных сигналов (кодовых символов) определяется их энергией E_s, которая, с учетом избыточности кода, оказывается несколько меньше энергии E_б, затрачиваемой на передачу одного информационного символа (бита). это следует из равенства kE_б = nE_s, т.е. E_s = E_бR_код. Поэтому во всех энергетических расчетах систем с кодированием используют, как правило, величину отношения энергии сигнала, затрачиваемой на передачу одного информационного двоичного символа (бита) к спектральной плотности мощности шума E_б/N₀. вероятность ошибочного декодирования блока определяется формулами (8.1) и (8.2), в которых в аргумент функции Q(z) входит величина E_s – энергия сигнала, затрачиваемая на передачу по каналу одного кодового символа. При кодировании со скоростью R_код = k/n энергия сигнала может быть представлена так: E_s = E_бR_код, где E_б – энергия сигнала, затрачиваемая на передачу одного двоичного информационного символа (бита). Тогда используемое в энергетических расчетах систем с кодированием отношение энергии E_б к спектральной плотности мощности шума N₀ можно обозначить как . С учетом взаимосвязи энергии сигнала E_s и энергии E_б, входящая в расчетную формулу (8.3) величина будет .

Тогда с учетом затрат энергии на передачу дополнительных символов избыточного кода формулу (8.3) можно представить следующим образом:

, (8.7)

на основе чего вероятность ошибочного декодирования бита оценивается выражением:

, (8.8)

в котором вероятность ошибки канального сигнала определяется по формуле (8.7). При необходимости определить вероятность ошибки в канале без кодирования достаточно воспользоваться формулой (8.7), положив R_код = 1:

. (8.9)

Упражнение 8.1. Помехоустойчивость декодирования блокового кода.

Воспользуемся формулой (8.9) для расчетов вероятности ошибки оптимального приема сигналов ФМ-2 в канале без кодирования. Результаты расчетов приведены в табл. 8.1. Исходным параметром для расчетов является отношение сигнал/шум на входе демодулятора . связь между используемой на практике величиной определяется формулой . В табл. 8.1 сведены расчетные данные по определению вероятности ошибки оптимального приема сигнала ФМ-2 (8.8), в том числе аргумент z функции Q(z).

Кривая зависимости p = f( ), построенная по этим данным (ФМ-2), приведена на рис. 8.1. По формулам (8.7), (8.8) определим вероятность ошибки бита при декодировании в канале с ФМ-2 комбинаций циклического кода (31, 26) с параметрами R_код = 0,84, q_исп = 1. код выбран из табл. А.1 приложения А.1.

Таблица 8.1 – Расчет помехоустойчивости приема сигнала ФМ-2

hб2, дБ	hб	Rкод	z	p
1	1,122	1	1,587	5,8∙10–2
2	1,259	1	1,178	3,9∙10–2
3	1,413	1	1,998	2,4∙10–2
4	1.585	1	2,241	1,3∙10–2
5	1,778	1	2,515	6,1∙10–3
6	1,995	1	2,822	2,4∙10–3
7	2,512	1	3,166	7,9∙10–4
8	2,818	1	3,986	2,0∙10–4
10	3,162	1	4,472	4,2∙10–6

Результаты расчетов представлены на рис. 8.1 (кривая ЦК).

Таблица 8.2 – Расчет помехоустойчивости декодирования ЦК

Метод модуляции ФМ-2, Циклический код (31, 26)
hб2, дБ	hб	Rкод	z	C231	pд
1	1,122	0,84	1,454	465	0,26
2	1,259	0,84	1,632	465	0,13
3	1,413	0,84	1,831	465	5,4∙10–2
4	2,585	0,84	2,054	465	1,9∙10–2
5	1,778	0,84	3,305	465	5,1∙10–3
6	1,995	0,84	2,586	465	1,0∙10–3
7	2,239	0,84	2,902	465	1,5∙10–4
8	2,512	0,84	3,562	465	1,4∙10–5
9	2,818	0,84	3,653	465	7,2∙10–7
10	3,162	0,84	4,099	465	1,9∙10–8

во всех энергетических расчетах систем с кодированием используют, как правило, величину отношения энергии сигнала, затрачиваемой на передачу одного информационного двоичного символа (бита) к спектральной плотности мощности шума , которое считается единым мерилом энергетических затрат на передачу информации по каналу с кодированием и без него.

по изменению необходимой величины судят об эффективности применения корректирующего кода.

Эффектом снижения ошибок на выходе декодера можно распорядиться по-разному. Помехоустойчивое кодирование обеспечивает уменьшение вероятности ошибок в принятых сообщениях. Это хорошо видно из сравнения кривых p = f( ) на рис. 8.1 для случаев передачи информации методом некодированной ФМ-2 и с применением циклического кода (31, 26) (кривая ФМ-2+ код (31, 26)). Видно, что при использовании помехоустойчивого кода можно допустить определенное снижение отношения сигнал/шум в канале и получить, соответственно, энергетический выигрыш g (дБ). Величина выигрыша может быть определена на различных уровнях вероятности ошибки бита p на выходах демодулятора и декодера. Сказанное иллюстрируется кривыми помехоустойчивости, представленными на рис. 8.1. Применение кодирования приводит к повышению помехоустойчивости (снижению вероятности ошибки декодирования). Видно, что кривая ЦК вероятности ошибки декодирования располагается ниже кривой (ФМ-2) для случая передачи без кодирования.

энергетический выигрыш от применения кодирования (ЭВК) g равен разности значений Eб/N0, необходимых для обеспечения заданной вероятности ошибки в передаваемых данных при отсутствии и при использовании кодирования.

В частности, для данных, приведенных на рис. 8.1, значение ЭВК g =1,55 дБ (p = 10^–5).

Величина ЭВК g широко используется для выбора кодов при проектировании телекоммуникационных систем. Значения ЭВК, получаемые при использовании циклических кодов в каналах с ФМ-2, приведены в табл. А.2 приложения А.1.

Пример 8.1. Оптимизация параметров циклического кода.

Рассмотрим процедуру оптимизации параметров ЦК, используемого в двоичном симметричном канале с сигналами ФМ-2 с целью получения максимального энергетического выигрыша от кодирования при условии, что коэффициент расширения спектра сигнала не будет превышать K_F = 2 (двойное расширение ширины спектра сигнала в канале). Предварительно, по табл. А.2 приложения А.1 произведем отбор циклических кодов, которые могут удовлетворить требованиям по коэффициенту расширения спектра (K_F < 2, R_код > 0,5). Результаты такого выбора сведены в табл. 8.3. В столбцах таблицы указаны значения скорости кода, а в ячейках по строкам представлены величины ЭВК (в дБ) для различных длин кодового блока n. По табл. А.1 приложения А.1 выбираем ЦК с длиной блока n  255 скоростью R_код  0,5. В табл. 8.3 приведены значения ЭВК при использовании ЦК с различными скоростями R_код и длинами блока n.

Таблица 8.3 – Параметры ЦК, удовлетворяющих требованиям по скорости

Длина блока n	Скорость кода Rкод
	0,5	0,6	0,7	0,8
63	2,7	2,8	2,7	2,1
127	3,4	3,5	3,3	2,8
255	3,9	4,0	3,8	3,3

Видно, что наибольшее значение ЭВК = 4,0 дБ достигается при использовании достаточно длинного ЦК с длиной блока n = 255. Выбранный код (255, 155) обеспечивает энергетический выигрыш 4,0 дБ при скорости кода R_код = 0,6 и коэффициенте расширения полосы K_F = 1,65, не превышающем заданное значение K_F(макс) = 2.