Глава III. Полупроводниковые гомоструктуры

Результаты зонной теории твердого тела, представленные в предыдущей главе, являются основой для более подробного рассмотрения свойств полупроводников, прежде всего, их электрических характеристик. Здесь мы рассмотрим как собственную проводимость в однородном полупроводнике, так и т.н. примесную проводимость, возникающую при легировании (добавке) специальных примесей в исходный однородный полупроводник. Как правило, примесная проводимость гораздо больше собственной проводимости, что, в конечном итоге, и позволяет создавать функциональные полупроводниковые структуры (диоды, триоды, интегральные схемы и т.п.), широко используемые в современной электронике и радиотехнике, а также в ряде приложений электротехники («силовая электроника»). Поскольку все эти структуры в основе имеют какой-то один полупроводник, то сейчас их все чаще называют гомоструктурами, чтобы отличить от другого класса функциональных полупроводниковых структур, базирующихся на соединении двух (или более) разнородных полупроводников и обозначаемых как гетероструктры. Заметим, что именно гетероструктуры сейчас олицетворяют все наиболее перспективные направления развития полупроводниковой электроники, хотя гомоструктуры еще сохраняют конкурентоспособность во многих приложениях.

3.1 Зависимость собственной проводимости полупроводника от температуры

Собственная проводимость полупроводника, в конечном итоге, определяется количеством электронов (точнее, их концентрацией) в зоне проводимости (и равным им количеством дырок в валентной зоне).

Рис. 3-1. Образование свободных электронов в полупроводнике.

На рис. 3-1 совместно представлены зонная картина энергетических уровней для электронов в полупроводнике и функция Ферми-Дирака (слева), демонстрирующая распределение вероятности заполнения электронами этих уровней при температуре, отличной от нуля.

Соответствующий расчет показывает, что у полупроводников (собственных) уровень Ферми располагается практически по середине запрещенной зоны. Поэтому количество электронов, перешедших в свободную зону, относительно невелико, а вероятность заполнения энергетических уровней даже вблизи дна зоны проводимости очень мала. При аналитическом описании распределения только этих электронов можно существенно упростить вид функции f(E), которая для малых значений f преобразуется в т.н. формулу Максвелла-Больцмана, а именно:

f(E) = exp[-(E-E_F)/kT]

Поскольку электроны проводимости концентрируются вблизи дна зоны проводимости, т.е. для всех них можно принять практически одно и то же значение Е = Е_с, равное энергетическому уровню дна зоны проводимости, то, обозначив ΔЕ /2 = Е_с – Е_F , получаем

f(E) = exp(-ΔE / 2kT)

Количество свободных электронов n (и дырок) будет пропорционально полученному выражению. Следовательно, электропроводность собственных полупроводников быстро растет с температурой, что можно выразить формулой

σ = σ₀ ·exp(-ΔE / 2kT)

Здесь ΔЕ – ширина запрещенной зоны, а σ₀ – величина, изменяющаяся с температурой гораздо медленнее, чем экспонента, в связи с чем ее можно в первом приближении считать константой.

Рис. 3-2. Зависимость концентрации собственных носителей

от обратной температуры для наиболее распространенных полупроводников –

кремния, германия, арсенида галлия и фосфида галлия.

Наглядно зависимость от температуры концентрации собственных носителей (и пропорциональной ей проводимости) можно представить в виде графика для n, приведенный на рис. 3-2.

Вышеприведенные рассуждения можно рассматривать как основу для некоторых инженерных расчетов электронной проводимости полупроводника. С точки зрения физики, точный расчет концентрации электронов в зоне проводимости собственного полупроводника представляет принципиальный интерес, поскольку позволяет определить степень достоверности и обоснованности вышеуказанных инженерных расчетов. Поэтому ниже проведен соответствующий анализ и расчет этой концентрации.

Предварительно сделаем некоторые важные замечания. В большинстве случаев зависимости величины энергии Е от модуля волнового вектора k вблизи нижней границы зоны проводимости и верхней границы валентной зоны (и только там!!) можно аппроксимировать параболой E ~ k², как это показано на рис. 3-3.

Рис. 3-3. Зависимости E(k) вблизи границ зоны проводимости и валентной зоны.

Этот важный факт обсудим более подробно, а именно, разложим функцию E(k) в ряд вблизи экстремума, т.е. точки k = 0:

,,,,,

Обычно при расчетах в зонной теории удобно отсчитывать энергию от дна зоны проводимости, т.е. при k = 0 принимается E(0) = 0. Учитывая, что в точке экстремума , и отбрасывая слагаемые более высокого порядка, чем k², окончательно получаем:

Этому выражению удобно придать вид формулы, напоминающей соответствующее выражение для свободного электрона, а именно:

,

т.е. здесь масса свободного электрона заменена на эффективную массу электрона в полупроводнике, выражение для которой было получено ранее. Отметим, что, продолжая сравнение со свободным электроном, можно ввести понятие о т.н. псевдоимпульсе электрона в полупроводнике, равном p* = ћk,

Аналогично для валентной зоны (у ее «потолка») можно записать зависимость энергии электронов от модуля волнового вектора в виде:

Здесь - эффективная масса электронов в валентной зоне. Если в каких-то случаях можно положить E_v = 0, то и зависимость E(k) для валентных электронов, т.е. для дырок будет похожа на соответствующую зависимость электронов в зоне проводимости. Отличие будет заключаться лишь в том, что ось энергий для электронов направлена вверх, а для дырок вниз; кроме того, эффективные массы электронов зоны проводимости и дырок не только имеют разные знаки, но и, в общем случае, неодинаковы по величине.

Теперь, после сделанных замечаний, вернемся к задаче расчета концентрации электронов в зоне проводимости. Мы будем считать, что электроны попадают в зону проводимости только в результате прямых межзонных переходов, т.е. исключаем из рассмотрения локальные уровни, возникающие из-за разных дефектов и неконтролируемых примесей. Энергии, соответствующие нижней и верхней границе зоны проводимости, обозначим через Е_с и Е_m, потолок валентной зоны – через Е_v (см. рис. 3-1)

Если dn(E) – концентрация электронов, обладающих энергией в интервале E, E+dE, то dn(E) = g(E)∙f_Fd(E)∙dE, где g(E) – плотность состояний, а f_FD(E) – функция Ферми-Дирака и положение графика f_FD(E) по отношению к зонам энергии определяется уровнем Ферми E_F.

Плотность состояний g(E) в нижней половине зоны проводимости, где электроны ведут себя почти как идеальный газ, для которого E = (p*)² / 2m*, растет пропорционально E^1/2. Однако гораздо быстрее (экспоненциально!!) спадает функция f_FD(E), поэтому произведение g(E)∙f_Fd(E) , пропорциональное dn(E), представляет собой узкий пик вблизи дна зоны проводимости.

Очевидно, что полная концентрация электронов, обладающих любыми значениями энергии в интервале от Е_с до Е_m, может быть выражена в следующем виде:

n =

Верхний предел интегрирования можно продлить до бесконечности, т.к. в верхней части зоны проводимости электронов практически уже нет.

Отдельно надо подсчитать плотность состояний g(E). Напомним, что согласно выводам статистической физики число состояний для заданного объема фазового пространства ΔГ = Δp_x Δp_y Δp_z Δx Δy Δz равно ΔГ/ h³. Поскольку p* = (2m*E)^1/2, то имеем

dp = (1/2) (2m*)^1/2 E^-1/2 dE

Очевидно, что число состояний в фазовом объеме, соответствующем значениям импульса электрона от p до p+dp, при равновероятном расположении в любой точке координатного объема V, можно записать как

Z(p) = 4πp² dp∙V /h³

Это значение надо удвоить при учете спина электрона, т.е. имеем

Z(p) = 8πp² dp∙V /h³

Заменив в Z(p) значение dp на (1/2) (2m)^1/2 E^-1/2 dE , а также разделив его на объем V, мы получим плотность состояний g(E) (т.е. число состояний на единицу координатного объема) как множитель при dE, а именно:

g(E) = 4π(2m*)^3/2 E^1/2 / h³

Возвращаясь к формуле для полной концентрации n, можно записать

n =

Поскольку в собственном полупроводнике E-E_F >> kT, то единицей в знаменателе можно пренебречь. Тогда

n =

Проведя численное интегрирование интеграла для типичного значения E_c = 5 эВ, можно получить оценку в виде

n =

При комнатной температуре концентрация электронов проводимости в полупроводнике составляет n ≈ 2,5 ∙10¹³ см^-3 , тогда как полная концентрация валентных электронов типичном полупроводнике n_o ≈ 10²² – 10²³ см^-3. Другими словами, очень малая доля валентных электронов участвует в создании проводимости в полупроводнике, что и объясняет ее относительно небольшое значение по сравнению с металлами.