Глава I. Строение и механические свойства кристаллических тел

1. Классификация кристаллов

Как уже было сказано, кристаллы отличаются упорядоченным расположением составляющих его частиц (атомов, молекул, ионов). Упорядоченное расположение частиц проявляется в правильной внешней огранке кристаллов. Кристаллы ограничены плоскими гранями, пересекающимися под некоторыми, определенными для каждого рода кристаллов углами. Раскалывание кристаллов легче происходит по определенным плоскостям, называемыми плоскостями спайности.

Строго говоря, указанная картина в полной мере относится только к большим по размерам кристаллам, т.н. монокристаллам. Некоторые типы монокристаллов встречаются в природе, однако большинство монокристаллов достаточно больших размеров получены только искусственным путем (например, монокристаллы кремния, играющие такую большую роль в современной электронике больших интегральных схем – БИС и СБИС).

Гораздо чаще правильность геометрической формы и анизотропия кристаллов маскируются для невооруженного глаза, потому что кристаллические тела встречаются, как правило, в виде т.н. поликристаллов, т.е. конгломератов множества сросшихся между собой, беспорядочно ориентированных мелких кристалликов. В поликристаллах анизотропия наблюдается только в пределах каждого отдельно взятого кристаллика (именуемого кристаллит или зерно), тело же в целом вследствие беспорядочной ориентации кристалликов анизотропии не обнаруживает. Только создав специальные условия кристаллизации из расплава, раствора или газовой фазы, можно получить большие одиночные кристаллы – вышеупомянутые монокристаллы любого вещества.

Упорядоченность расположения атомов кристалла заключается в том, что центры атомов (или молекул) одного и того же сорта размещаются в узлах геометрически правильной пространственной решетки (рис.1). Весь кристалл может быть получен путем многократного повторения в трех различных направлениях одного и того же структурного элемента, называемого элементарной кристаллической ячейкой. Длины ребер a, b и c кристаллической ячейки называются периодами идентичности кристалла.

Кристаллическая ячейка представляет собой параллелепипед, построенный на трех векторах a, b, c, модули которых равны периодам идентичности. Кроме ребер a, b, c, этот параллелепипед характеризуется также углами α, β и γ между ребрами. Совокупность этих линейных и угловых размеров однозначно определяют элементарную ячейку и называются ее параметрами.

Рис. 1

а – кристаллическая решетка из элементарных ячеек; б – элементарная ячейка кристалла.

Вообще-то, элементарную ячейку во многих случаях можно выбрать различными способами. Но если кристаллическая ячейка включает наименьшее число атомов, характеризующих химический состав кристаллического вещества (например, один атом кислорода и два атома водорода для кристалла льда), то она называется примитивной ячейкой.

Если какой-нибудь узел решетки выбран за начало отсчета, то радиус-вектор R любого другого узла решетки может быть определен из формулы

R = ma + nb + pc ,

где m, n, p – целые числа, называют индексами данного узла. Совокупность трех целочисленных индексов обычно записывают в двойных квадратных скобках [[mnp]] и называют символом узла.

В принципе, такое же обозначение может быть применено и для любой другой точки в кристалле, при этом m, n, p называют индексами точки, и они уже не обязаны быть целыми числами. Однако обычно имеют в виду только точки, расположенные в пределах ячейки, примыкающей к началу координат, т.е. в этом случае индексы будут числами, не превышающими 1. При этом, как правило, для их записи используют простые дроби. Например, индексы соответствуют центру кристаллической ячейки, а индексы соответствуют центру грани, лежащей в плоскости YZ. Здесь подразумевается, что ось X параллельна вектору a, ось Y параллельна вектору b и т.д. В общем случае – это декартовы косоугольные координаты, а не более привычные декартовы прямоугольные.

Направление в кристалле можно задать с помощью прямой, проходящей через начало координат. Направление такой прямой определяется наименьшими целыми числами m, n, p, пропорциональными индексам любой точки, через которую проходит заданная прямая:

m: n: p = .

Числа m, n, p называются индексами направления и заключаются в одинарные квадратные скобки. Обычно представляют интерес только направления, проходящие через узлы кристаллической решетки. Например, [1 1 1] определяет диагональное направление в элементарной решетке.

Если какое-то из чисел m, n, p оказывается отрицательным, знак минус ставится не перед соответствующим числом, а над ним. Например, направление, противоположное оси Y, обозначается символом .

Положение плоскости в кристалле можно определить, задав отрезки u, v, w, отсекаемые плоскостью на координатных осях. Однако в случае плоскостей, проходящих через узлы кристаллической решетки, оказывается более удобным задавать положение плоскости с помощью наименьших целых чисел h, k, l, обратных отрезкам u, v, w:

Числа h, k, l называются индексами Миллера. Записывая символ плоскости, индексы Миллера заключают в круглые скобки, а именно (h k l). На рис. 2 приведены индексы Миллера для основных плоскостей кубического кристалла (типа поваренной соли NaCl).

Рис. 2.

Индексы Миллера. Ось X направлена «на нас», ось Y – направо, ось Z–вверх

из дальней левой нижней вершины куба.

Хотя примитивная ячейка из всех возможных элементарных имеет наименьший объем, иногда все-таки целесообразно выбирать в качестве элементарной ячейку большего объема. Это связано с тем, что примитивный параллелепипед может оказаться косоугольным, а расчеты, например, при определении структуры кристалла всегда удобнее производить не в косоугольной системе координат, а в прямоугольной. Ясно, что выбранная в прямоугольной системе координат ячейка, в отличие от примитивной, помимо узлов в вершинах должна содержать дополнительные узлы, и объем такой сложной ячейки больше объема примитивной.

Сложная ячейка характеризуется координатами узлов. Совокупность координат узлов, приходящихся на элементарную ячейку, называется базисом ячейки. Обычно сложную элементарную ячейку выбирают так, чтобы дополнительные узлы находились в центрах граней, либо в центре объема. В связи с этим вводят следующий перечень наиболее распространенных сложных ячеек:

1. Объемно-центрированная ячейка – дополнительный узел лежит на пересечении диагоналей, т.е. в центре ячейки [[1/2 1/2 1/2]].

2. Базоцентрированная ячейка – дополнительные узлы лежат в основаниях ячейки.

3. Бокоцентрированная ячейка – дополнительные узлы лежат на боковых гранях.

4. Гранецентрированная решетка – дополнительные узлы лежат в центрах всех граней.

Другой важной характеристикой кристалла является вид его симметрии. Под симметрией кристаллической решетки понимается свойство решетки совпадать с самой собой при некоторых пространственных перемещениях.

Всякая решетка, прежде всего, обладает трансляционной симметрией, т.е. совпадает сама с собой при перемещении (трансляции) на величину периода идентичности.

Из других видов симметрии отметим симметрию по отношению к поворотам вокруг некоторых осей, а также к зеркальному отражению относительно определенных плоскостей. На рис. 3 приведен ряд вариантов пространственной симметрии кристаллов.

Если решетка совпадает сама с собой при повороте вокруг некоторой оси на угол 2π/n (т.е. за один полный поворот решетка совпадает сама с собой n раз), то эта ось называется осью симметрии n-го порядка. Можно показать, что, кроме тривиальной оси 1-го порядка, возможны только оси симметрии 2, 3, 4 и 6-го порядков.

Плоскости, при зеркальном отражении от которых решетка совпадает сама с собой, называются плоскостями симметрии.

Рис. 3

Варианты вращательной и зеркальной симметрии.

Белыми кружками и черными кружками обозначены атомы разных сортов.

Кристаллическая решетка, как правило, обладает одновременно несколькими видами симметрии. Однако не всякое сочетание элементов симметрии оказывается возможными. В конечном итоге выяснилось, что любая кристаллическая структура может быть представлена с помощью одной из 14 топологически различных решеток (т.н. решеток Бравэ), различающихся по форме элементарной ячейки, из которых только 6 являются примитивными. Этими примитивными решетками (или сингониями) являются:

- триклинная система

- моноклинная система

- ромбическая система

- тетрагональная система

- гексагональная система

- кубическая система

Иногда в число примитивных включают т.н. ромбоэдрическую систему, хотя в большинстве случаев можно считать, что последняя есть разновидность гексагональной системы.

Оставшиеся 8 решеток Бравэ имеют дополнительные узлы, т.е. такие решетки являются центрированными. Эти дополнительные узлы располагаются либо в объеме решетки, либо в гранях (объемно-центрированные, базоцентрированные и пр. сложные ячейки, рассмотренные выше).