2.5 Эффективная масса электрона

До сих пор обсуждалось поведение электрона, находящегося в собственном поле решетки. Однако на движущийся электрон может действовать и стороннее, т.е. внешнее электрическое или магнитное поле. Электрическое поле может изменять энергетическое состояние электрона, однако это изменение зависит и от особенностей поведения конкретного электрона в поле решетки (через конкретную совокупность E и k и их положения на дисперсионной кривой). Поэтому, чтобы вычленить воздействие внешнего поля на электрон, вводят понятие т.н. эффективной массы m* электрона в кристалле, а само движение электрона во внешнем поле рассматривают в режиме усреднения по потенциальному рельефу решетки. Такое движение можно рассматривать с помощью волнового пакета из блоховских функций, учитывая для каждой волны соотношение E(k) = ћω(k). При этом, как известно, средняя скорость движения электрона равна групповой скорости волнового пакета, а именно

V_гр =

Продифференцируем записанное выражение по времени. Тогда имеем:

Для дальнейшего учтем, что изменение энергии Е электрона равно совершенной над ним работой внешней силы F, т.е.

dE = dA = F∙V_гр∙dt = F∙(dE/dk)∙ћ^-1∙dt

Отсюда получаем соотношение:

Окончательно можем записать:

Это позволяет описать воздействие внешнего поля на электрон в виде

m*∙dV/dt = F ,

где эффективную массу можно определить как

m* =

Из сказанного вытекает, что соотношения, полученные в приближении свободных электронов, оказываются справедливыми и для электрона, движущегося в периодическом поле, если в них заменить истинную массу m эффективной массой m*.

Исследуем зависимость эффективной массы от «местоположения» электрона внутри разрешенной энергетической зоны, например, в первой и второй зоне Бриллюэна, изображенных на рис. 2-11. Вблизи дна зоны (см. точки А и А’) ход дисперсионной кривой мало отличается от хода соответствующей кривой для свободных электронов . Значит, здесь m ~ m*. В точке перегиба (точка В) вторая производная равна нулю. Следовательно, m* обращается в бесконечность. Это означает, что внешнее поле не может изменить скорость электрона, находящегося в состоянии с энергией E_B. Вблизи потолка разрешенной зоны вторая производная меньше нуля. В соответствии с этим эффективная масса электронов, занимающих уровни вблизи потолка зоны, оказывается отрицательной. Фактически это означает, что под совместным действием поля решетки и внешнего поля электрон, находящийся в состоянии с энергией Е_С, получает ускорение, противоположное по направлению внешней силе F.

2.6 Работа выхода электрона в металлах

Электроны проводимости в обычных условиях не могут покинуть металл в заметном количестве. Это объясняется тем, что металл представляет для них потенциальную яму. Наименьшая энергия, которую необходимо сообщить электрону, чтобы удалить его из металла в вакуум, называется по традиции работой выхода А. Работа выхода иногда обозначается в виде А = eφ, где φ – величина, называемая потенциалом выхода.

Из рис. 2-13 видно, что при Т = 0 работа выхода равна потенциальной глубине, на которой располагается уровень Ферми. Поскольку в металлах с ростом температуры уровень Ферми меняется очень слабо, то это определение распространяют на любые температуры.

Рис.2-13. Работа выхода для металлов.

Работа выхода очень чувствительна к состоянию поверхности металла, в частности, к ее чистоте. Подобрав надлежащим образом покрытие поверхности, можно сильно снизить работу выхода. Так, например, нанесение на поверхность вольфрама слоя окисла щелочно-земельного металла типа Ca, Sr, Ba снижает работу выхода с 4,5 эВ для чистого вольфрама до 1,5-2 эВ. Подобные катоды, называемые оксидными, широко используются в электровакуумной технике.

Работа выхода определяет эффективность автоэлектронной, термоэлектронной и фотоэлектронной эмиссии из металлов. Например, плотность тока насыщения для термоэлектронной эмиссии можно записать в виде т.н. формулы Дэшмана, полученной из квантовых представлений:

j = СT ² exp(-eφ/kT),

где константа С не зависит от рода металла.

Фотоэмиссия электронов в вакуум основана на широко известном фотоэлектрическом эффекте (или просто фотоэффекте), который в данном случае называется внешним фотоэффектом (в отличие от внутреннего фотоэффекта, заключающегося в резком усилении собственной электрической проводимости многих полупроводников под действием оптического излучения ультрафиолетового, видимого и инфракрасного диапазонов и выполненных, например, в виде т.н. фоторезисторов). Подробнее этот вопрос рассмотрен в главе VI, посвященной оптическим свойствам полупроводников.

Внешний фотоэффект является физической базой для таких известных приборов в видимом диапазоне, как вакуумные фотодиоды, фотоэлектронные умножители, телевизионные иконоскопы и т.п.