- •Курс лекций
- •Учебное пособие
- •Введение
- •Глава I. Строение и механические свойства кристаллических тел
- •Классификация кристаллов
- •1.2 Физические типы кристаллических решеток
- •1.2.1 Ионные кристаллы
- •Атомные кристаллы
- •Металлические кристаллы
- •1.2.4 Молекулярные кристаллы
- •1.2.5 Водородная связь
- •1.3. Методы определения атомной структуры кристаллических тел
- •Вещества с кубической решеткой
- •Некоторые соединения со структурой хлорида натрия
- •1.4. Дефекты в кристаллах
- •1.4.1 Виды дефектов
- •1.4.2 Точечные дефекты и их влияние на электрические свойства кристалла
- •1.4.3 Дислокации – возникновение и перемещение
- •Механические свойства кристаллических тел
- •Глава II. Электрические и тепловые свойства кристаллических тел
- •2.1 Основные положения теории Друде
- •2.2. Статическая электропроводность и теплопроводность металлов по Друде
- •2.3. Квантовые явления и теории проводимости металлов на их основе
- •2.3.1 Основные положения квантовой механики
- •2.3.2 Теория Зоммерфельда
- •2.3.3 Статистика фермионов
- •2.2.4 Недостатки модели Зоммерфельда
- •2.2.5 Проблемы составления уравнение Шредингера для твердого тела
- •2.4 Основы зонной теории твердого тела Блоха
- •2.4.1 Функции Блоха
- •2.4.2 Качественное рассмотрение поведения почти свободных электронов в кристалле
- •2.4.3 Модель Кронига-Пенни
- •2.4.4 Статистика фермионов в зонной теории
- •2.5 Эффективная масса электрона
- •2.6 Работа выхода электрона в металлах
- •2.7 Автоэлектронная эмиссия: туннельный эффект
- •2.8. Контактные явления
- •2.9. Колебания решетки и акустические волны (фононный газ)
- •2.10. Сверхпроводимость
- •Глава III. Полупроводниковые гомоструктуры
- •3.1 Зависимость собственной проводимости полупроводника от температуры
- •3.2. Примесная проводимость как основная в легированных полупроводниках
- •3.4 Полупроводниковый биполярный транзистор
- •3.5 Полевые транзисторы
- •3.6 Физические технологии создания полупроводниковых структур
- •Глава IV. Гетероструктуры
- •4.1. Физические основы формирования гетероструктур
- •4.4. Практическое применение наноразмерных гетероструктур.
- •Глава V. Аморфные тела
- •Глава VI. Оптические свойства твердых тел.
- •6.1 Поглощение света в кристаллах
- •6.2. Фотопроводимость и фотоэффект в p-n-переходах и гетероструктурах
- •Заключение
- •Дополнительная литература
2.4 Основы зонной теории твердого тела Блоха
Наиболее современной теорией твердого тела, охватывающей металлы, полупроводники и диэлектрики в кристаллическом состоянии, является т.н. зонная теория, основные подходы и методы которой были сформулированы еще в 30-х годах прошлого века Ф. Блохом. Он продемонстрировал, что, с одной стороны, необходимо учитывать периодический пространственный рельеф потенциальной энергии, задаваемый неподвижными узлами кристаллической решетки, а с другой стороны, взаимодействие каждого электрона с остальными электронами, чрезвычайно быстро движущимися, можно рассматривать как взаимодействие с некоторым усредненным во времени потенциалом, равномерным в пространстве. Другими словами, Блох отказался от предположения о свободных электронах, но сохранил их независимость друг от друга, сведя тем самым задачу опять к одноэлектронной, но в периодическом внешнем потенциальном поле. Применительно к металлам и полупроводникам подобная модель иногда называется моделью с почти свободными электронами, имея в виду, что здесь валентные электроны относительно легко могут преодолевать периодические потенциальные барьеры.
2.4.1 Функции Блоха
Блох доказал (т.н. теорема Блоха), что волновые функции, являющиеся решениями одноэлектронного уравнения Шредингера с периодическим видом потенциальной энергии, имеющим период решетки (т.е. U(r) = U(r + R)), представляют собой плоские волны, модулированные некоторой функцией с периодичностью решетки, а именно,
ψk (r) = Gk(r)·exp(ikr)
Здесь Gk(r) = Gk(r + R) некоторая периодическая функция с периодом R, равным периоду решетки, и зависящая от волнового вектора k. Всю функцию ψk(r) часто называют блоховской волновой функцией.
Полученное выражение напоминает волну де Бройля для свободного электрона в части своего экспоненциального члена. Однако если в волне де Бройля постоянство в пространстве вектора k означало сохранение импульса p и кинетической энергии электрона, то этого уже нельзя сказать про электрон в кристалле. Действительно, на электрон, движущийся в кристалле, всегда действует периодическое поле решетки. Потенциальная энергия этого взаимодействия является периодической функцией координат. Следовательно, кинетическая энергия и импульс электрона изменяются со временем под действием этого поля, т.е. не сохраняются (в противоположность полной энергии Е и волновому вектору k).
Пользуясь понятием волнового вектора k, входящего в функцию Блоха, можно ввести условную характеристику, сохраняющуюся во времени и пространстве:
P = k
Чтобы подчеркнуть формальное сходство и одновременно отметить принципиальное отличие фигурирующей здесь величины от истинного (переменного!) импульса, выражение для Р называют квазиимпульсом электрона. Это понятие окажется удобным при анализе движения электрона в кристалле, помещенного, например, во внешнее электрическое или магнитное поле.
Прежде чем использовать введенные блоховские функции для нахождения их энергетических характеристик на основе одночастичного уравнения Шредингера, попробуем качественно оценить ожидаемые результаты.