- •Курс лекций
- •Учебное пособие
- •Введение
- •Глава I. Строение и механические свойства кристаллических тел
- •Классификация кристаллов
- •1.2 Физические типы кристаллических решеток
- •1.2.1 Ионные кристаллы
- •Атомные кристаллы
- •Металлические кристаллы
- •1.2.4 Молекулярные кристаллы
- •1.2.5 Водородная связь
- •1.3. Методы определения атомной структуры кристаллических тел
- •Вещества с кубической решеткой
- •Некоторые соединения со структурой хлорида натрия
- •1.4. Дефекты в кристаллах
- •1.4.1 Виды дефектов
- •1.4.2 Точечные дефекты и их влияние на электрические свойства кристалла
- •1.4.3 Дислокации – возникновение и перемещение
- •Механические свойства кристаллических тел
- •Глава II. Электрические и тепловые свойства кристаллических тел
- •2.1 Основные положения теории Друде
- •2.2. Статическая электропроводность и теплопроводность металлов по Друде
- •2.3. Квантовые явления и теории проводимости металлов на их основе
- •2.3.1 Основные положения квантовой механики
- •2.3.2 Теория Зоммерфельда
- •2.3.3 Статистика фермионов
- •2.2.4 Недостатки модели Зоммерфельда
- •2.2.5 Проблемы составления уравнение Шредингера для твердого тела
- •2.4 Основы зонной теории твердого тела Блоха
- •2.4.1 Функции Блоха
- •2.4.2 Качественное рассмотрение поведения почти свободных электронов в кристалле
- •2.4.3 Модель Кронига-Пенни
- •2.4.4 Статистика фермионов в зонной теории
- •2.5 Эффективная масса электрона
- •2.6 Работа выхода электрона в металлах
- •2.7 Автоэлектронная эмиссия: туннельный эффект
- •2.8. Контактные явления
- •2.9. Колебания решетки и акустические волны (фононный газ)
- •2.10. Сверхпроводимость
- •Глава III. Полупроводниковые гомоструктуры
- •3.1 Зависимость собственной проводимости полупроводника от температуры
- •3.2. Примесная проводимость как основная в легированных полупроводниках
- •3.4 Полупроводниковый биполярный транзистор
- •3.5 Полевые транзисторы
- •3.6 Физические технологии создания полупроводниковых структур
- •Глава IV. Гетероструктуры
- •4.1. Физические основы формирования гетероструктур
- •4.4. Практическое применение наноразмерных гетероструктур.
- •Глава V. Аморфные тела
- •Глава VI. Оптические свойства твердых тел.
- •6.1 Поглощение света в кристаллах
- •6.2. Фотопроводимость и фотоэффект в p-n-переходах и гетероструктурах
- •Заключение
- •Дополнительная литература
2.2.4 Недостатки модели Зоммерфельда
Хотя теория Зоммерфельда была огромным шагом вперед по сравнению с теорией Друде, но и она имела расхождения с рядом экспериментальных явлений, а самое главное, оставила без ответа фундаментальный вопрос: почему некоторые элементы являются металлами, а рядом расположенные в таблице Менделеева элементы являются диэлектриками или плохо проводящими материалами – полупроводниками.
Анализ показал, что главный недостаток теории Зоммерфельда состоит в сохранении в ее основах положения о свободных электронах, т.е. электронах, движение которых не учитывает периодическое пространственное возмущение потенциальной энергии в окрестности узлов решетки.
Поэтому следующим важнейшим шагом в развитии физики твердого тела стала т.н. зонная теория, которая отказалась от модели полностью свободных электронов и учла, пусть и в модельном виде, влияние поля внутри кристаллической решетки на движение электронов.
Прежде чем приступить к изложению современной зонной теории еще раз рассмотрим те фундаментальные трудности, которые встречаются на пути всеобъемлющего описания явлений в твердом теле.
2.2.5 Проблемы составления уравнение Шредингера для твердого тела
Уравнение Шредингера в форме, представленной в предыдущих разделах, соответствует, строго говоря, движению только одной микрочастицы в заданном потенциальном поле. Другими словами, движение микрочастицы здесь считается независящим от движения и положения других микрочастиц. Возможность сведения какой-либо реальной задачи к подобной одночастичной модели требует специального анализа и обоснования. Только в некоторых случаях такой подход достаточно последователен и достоверен (например, в известной задаче описания состояния электрона в атоме водорода). В общем случае надо было бы записывать уравнение Шредингера для всех взаимодействующих частиц N, при этом число искомых пространственных координат равнялось бы 3N, а результирующая силовая функция зависела бы, строго говоря, от всех взаимодействующих частиц. Даже в задачах, где количество частиц заведомо ограничено несколькими сотнями (например, в ядерной физике N < 250), это направление весьма неэффективно, даже при использовании вычислительных методов на базе современных суперкомпьютеров (на практике приходится прибегать к различным упрощенным моделям ядра). Поэтому ясно, что такой подход, тем более, совершенно бесперспективен, когда имеем дело с реальными образцами твердых тел, где количество микрочастиц N порядка числа Авогадро NA (N ~ 1023).
Действительно, любое твердое тело состоит из атомов, т.е. представляет совокупность ядер и электронов. В кристаллических твердых телах ядра атомов располагаются в узлах кристаллической решетки, обладающей пространственной периодичностью. В аморфных телах расположение ядер более или менее случайно.
Потенциальная энергия совокупности частиц, составляющих твердое тело, складывается из энергий попарного взаимодействия электронов с электронами, ядер с ядрами и электронов с ядрами.
Волновая функция, входящая в уравнение Шредингера, теперь зависит от координат всех частиц. Из-за огромного числа независимых переменных это уравнение не может быть точно решено в общем виде. Для отыскания приближенного решения прибегают к ряду упрощающих предположений, однако эти упрощения должны сохранить в решении узловые моменты, определяющие поведение, прежде всего, электронов в твердом теле.
В основном, упрощения обычно сводятся к следующим предположениям.
1. Пренебрегаем движением ядер, т.е. описываем движение электронов в поле покоящихся ядер (простейший вид т.н. адиабатического приближения).
2. Считаем, что все электроны внутренних оболочек каждого атома образуют вместе с ядром покоящийся атомный остаток (т.н. валентная аппроксимация).
3. Взаимодействие валентных электронов учитывается введением некоторой эффективной самосогласованной силовой функции (метод Хартри-Фока), результатом чего является принципиальная возможность сведения всей задачи к одноэлектронной.
Однако все эти упрощения, в конечном итоге, все равно приводят к чрезвычайно сложной системе интегро-дифференциальных уравнений, не позволяющей в большинстве случаев довести дело до результата в разумной форме. Поэтому довольно давно были предприняты попытки радикально упростить исходную задачу, сведя ее к решению некоторого одночастичного (одноэлектронного) уравнения Шредингера. Выше был уже рассмотрен один из таких подходов, известный как теория металлов Зоммерфельда со свободными электронами. Дальнейшее развитие теории твердого тела связано, как уже было сказано, с отказом от модели свободных электронов.