2.3.3 Статистика фермионов

В предыдущем разделе рассмотрены возможные энергетические состояния электронов в кристаллических телах. При этом допустимый уровень может быть или заполнен электроном, или оставаться пустым. Поэтому самостоятельный интерес представляет реальное распределение электронов по допустимым уровням энергии.

Ответ на поставленный вопрос дает статистическая физика, изучающая, в частности, равновесное распределение микрочастиц по различным квантовым состояниям. Применительно к электронам важнейшим фактором служит то, что они является т.н. фермионами, подчиняющимися статистике Ферми-Дирака. Признаком фермионов является выражение их спина (собственного механического момента, т.е. момента импульса) через нецелочисленное число s, кратного ½, причем число кратности – нечетное. Это является кратким физическим выражением того факта, что модуль спина фермиона равен M = .

Применительно к электрону заметим, что его спин выражается через спиновое число s = ½ (т.е. вышеупомянутое число кратности – единица). Иногда для краткости говорят просто, что спин электронов равен ½ , а его проекция на любое выделенное (например, магнитным полем) направление Z равна М_z = ± s .

Так как электрон является заряженной частицей, то наличие механического момента обуславливает и существование магнитного момента электрона, ориентированного соосно с механическим моментом, но в противоположном направлении (из-за отрицательного заряда электрона). Оказывается, что т.н. спиновое взаимодействие приводит к тому, что фермионы могут занимать какой-либо энергетический уровень только поодиночке или попарно, причем в последнем случае спины электронов направлены в противоположные стороны (вышеупомянутый принцип Паули).

В дальнейшем будем использовать для каждого направления проекции спина свою функцию Ферми-Дирака, которая фактически выражает вероятность заполнения электронами любого энергетического уровня Е в зависимости от температуры Т. В этом случае она имеет вид

Рис. 2-1. Функция Ферми-Дирака при разных температурах Т..

График этой функции отражен на рис. 2-1. Имеющий размерность энергии параметр E_F называют уровнем Ферми. Этот параметр появляется при выводе формулы Ферми-Дирака, например, из статистического распределения Гиббса, где он имеет изначальный физический смысл как химический потенциал µ, соответствующий приращению или убыли энергии статистической системы при появлении или убыли в ней одной частицы (например, при обмене частицами с другими системами). Можно показать, что в твердом теле химический потенциал µ сравнительно слабо зависит от температуры. Поэтому значение µ при Т = 0 в физике твердого тела традиционно обозначается как E_F , являющегося при Т = 0 своеобразной границей между заполненными и пустыми разрешенными энергетическими уровнями. Действительно, элементарный анализ функции f(E) показывает, что при Т = 0 график функции имеет вид ступеньки с высотой 1, оканчивающейся на уровне Ферми (см. рис. 2-1). Другими словами, при температуре абсолютного нуля все разрешенные уровни до E_F заполнены с вероятностью 1. При температуре, большей абсолютного нуля, ступенька размывается в обе стороны, причем ширина этого размытия, как показывает оценка, порядка kT.

Очевидно, что в пространстве волновых векторов (в k-пространстве) каждое разрешенное состояние будет занимать объем (2π)³/V и определяется набором дискретных квантовых чисел k_x, k_y, k_z . Энергия Ферми E_F при Т = 0 соответствует совокупности волновых векторов k с максимальным модулем k_{max .} Заметим, что соотношение Е = ћ² k² / 2m выполняется только для волновых функций типа волн де Бройля.

На рис. 2-2 изображена только одна верхняя четверть k-пространства, т.е. один октет полного пространства. Выделенная сфера толщиной dk содержит общее число G(k)dk электронных состояний в любом промежутке значений (k, k+dk), которое, с учетом принципа Паули, можно выразить следующим выражением:

G (k)dk= 2∙ ,

где G(k) можно рассматривать как плотность состояний по волновому числу k во всем объеме V кристалла. Коэффициент 2 в правой части равенства учитывает электроны с противоположными спинами. Тогда, соответственно, плотность числа состояний N(k) в k-пространстве, приходящаяся на единицу координатного объема, может быть выражена в следующем виде:

N(k)dk =

Отсюда, используя соотношение E = ћ²k²/2m и считая, что интервал dk соответствует определенному интервалу dE, легко получить функцию распределения плотности состояний по энергии g(E), отнесенную к единице объема металлического кристалла, а именно:

k² = 2mE/ ћ²; k = (2mE)^1/2/ ћ; dk = ;

N(k)dk = g(E)dE;

Рис. 2-2. Четверть верхнего сферического слоя (октет) в k-пространстве, соответствующая энергиям частиц

в диапазоне (E, E+dE)

Умножив g(E) на функцию Ферми-Дирака f_FD(E), получаем функцию распределения по энергии F(E) в окончательном виде, показанном на рис. 2-3. Очевидно, что при 0 К заняты лишь все состояния до E_F, а при Т > 0 некоторые из электронов начинают заполнять уровни выше E_F.

Рис. 2-3. Плотность заполненных электронных состояний как функция энергии Е. Для наглядности нарушен масштаб по горизонтали: при заданном размытии энергетического спектра в окрестности E_F надо было бы растянуть остальную часть графика по горизонтали, примерно, в 200 раз (при комнатной температуре).

Воспользовавшись полученными результатами, можно попытаться вычислить значение энергии Ферми. Легче всего это сделать для случая Т = 0, где функция Ферми-Дирака f_FD(E) везде равна единице, т.е. здесь все уровни заполнены до E_F. Кроме того, необходимо знание численного значения концентрации электронов n_e в металле. Таким образом, получаем следующее уравнение, в котором процедура интегрирования не вызывает проблем:

=

Для типичного значения концентрации электронов в металле n_e ≈ 10²³ см^-3 = 10²⁹ м^-3 оценка уровня Ферми в металлах соответствует энергии, примерно, 5 эВ. Это позволяет формально ввести т.н. температуру Ферми T_F = E_F / k_B, которая в этом случае равна порядка 60 000 К, т.е. в 200 раз превышает комнатную температуру. Таким образом, даже при температуре абсолютного нуля электроны уже имеют среднюю энергию в несколько эВ, в десятки раз превышающую энергию, соответствующую комнатной температуре (~ 0,025 эВ). Доля валентных электронов, реально увеличивающих свою энергию при нагреве, определяется их ничтожной частью в зоне размытия вблизи энергии E_{F .} Это и является главной причиной, почему электроны не дают практически никакого вклада в теплоемкость твердого тела в широком диапазоне температур (только при температуре в несколько кельвинов их вклад становится соизмеримым с теплоемкостью собственно кристаллической решетки, которая, как будет показана дальше, при низких температурах пропорциональна Т ³ ).

Если рассмотреть в импульсной части фазового пространства совокупное положение всех состояний с уровнем Ферми E_{F ,} то при большом числе электронов N оно будет соответствовать сфере с радиусом . Ее часто называют поверхностью Ферми. Иногда поверхность Ферми определяется в пространстве волновых векторов k(k_x, k_y, k_z). В общем случае, при более реальном учете возможной неизотропности внутренней структуры кристалла эта поверхность может быть и несферической формы.