2.3 Выводы к главе 2
В данной главе продемонстрированы основные этапы и приемы, используемые для решения полностью целочисленных задач методом отсекающих плоскостей и методом ветвей и границ.
При использовании обоих методов значения целевой функции получаются одинаковыми, поскольку оба метода являются точными методами решения целочисленных задач.
По итогам решенных задач видно, что трудоемкость решения методом ветвей и границ намного больше, так как на каждом шагу возникает по две порожденные задачи, а не по одной, как в методе Гомори. Преимуществом метода ветвей и границ является то, что он позволяет найти все оптимальные решения задачи, в то время как метод Гомори только одно.
3. Нелинейное программирование
3.1 Определение вида квадратичной формы
Максимизировать целевую функцию:
(3.1)
При ограничениях:
(3.2)
Возьмем приведённые частные производные частные производные от ЦФ.
(3.3)
Перепишем целевую функцию:
(3.4)
Матрица
Определяем вид квадратичной формы:
1) Критерий Сильвестра.
Определим миноры:
,
.
Полученный ряд является знакочередующимся, следовательно, квадратичная форма целевой функции отрицательно определённая.
2) Метод характеристических чисел.
(3.5)
,
─ все корни отрицательные, следовательно,
квадратичная форма целевой функции
отрицательно определённая.
По результатам исследования квадратичной формы целевой функции можно сделать вывод, что для решения задачи может быть применён квадратичный метод Била
3.2 Решение задачи методом Била
Приведём систему ограничений к каноническому виду.
(3.6)
Допустимое базисное решение:
(3.7)
Целевая функция:
(3.8)
Теперь можно сформировать первую таблицу.
Таблица 3.1 – Исходная таблица 1 итерации
-
1
х1
х2*
х3*
2
-1
-1
х4
1/2
-1
0
х1
0
1
0
х2
0
0
1
1
0
0
18
х1
0
-5
2
х2
18
2
-5
Так как элементы первой строки нижней части таблицы, стоящие на пересечении с U-ми отсутствуют и элементы, стоящие на пересечении с Х-ми столбцами, положительны, следовательно, решение не является оптимальным, что означает продолжение решения.
U-е столбцы отсутствуют, поэтому в качестве направляющего выбираем столбец, имеющий на пересечении с данной строкой положительный элемент, в данном случае, выберем столбец соответствующий переменной x2. Выбираем направляющую строку, для этого найдём отношение:
,
для
и
В данном случаи к=3 (x2 – направляющий столбец):
Строка, дающая минимум отношений, является направляющей, в нашем случае эта строка соответствует переменой х3.
Элемент, находящийся на пересечении направляющей строки и направляющего столбца – разрешающий (в данном случае он равен -1).
Составим промежуточную таблицу:
Так как разрешающий элемент находится в верхней части таблицы, то меняем переменную х2 в направляющем столбце промежуточной таблицы на переменную x3.
Что бы получить элементы столбца промежуточной таблицы, соответствующего направляющему, элементы последнего делим на разрешающий элемент. Элементы строки, соответствующей направляющей, в промежуточной таблице равны нулю, кроме элемента, соответствующего разрешающему (он равен единице и получен при делении направляющего столбца на разрешающий элемент).
Остальные элементы промежуточной таблицы получают по правилу, аналогичному правилу симплекс метода:
Пусть
-
разрешающий элемент, тогда:
,
где
(3.9)
Таблица 3.2 – Промежуточная таблица 1 итерации
|
1 |
х1 |
х3 |
х3 |
0 |
0 |
1 |
х4 |
1/2 |
-1 |
0 |
х1 |
0 |
1 |
0 |
х2 |
2 |
-1 |
-1 |
1 |
36 |
-18 |
-18 |
х1 |
4 |
-7 |
-2 |
х3** |
8 |
7 |
5 |
Верхнюю часть окончательной таблицы переписываем без изменений из промежуточной в итоговую.
Второй направляющей строкой является строка, пересекающаяся с направляющим столбцом по главной диагонали нижней части таблицы.
Разделив каждый элемент второй направляющей строки промежуточной таблицы на разрешающий элемент, получим соответствующую строку окончательной таблицы. Оставшиеся элементы рассчитаем по формуле:
, (3.10)
- искомый элемент, где i –
номер строки, а j – номер
столбца (нумерация строк начинается с
нижней части таблицы)
- элемент из промежуточной таблицы,
который находиться в ней на месте
искомого
- элемент второй разрешающей строки,
где к – номер второй разрешающей строки
- элемент первой разрешающей строки,
где h – номер первой
разрешающей строки
Таблица 3.2 - Итоговая таблица для 1-й итерации:
-
1
х1
х3
х3
0
0
1
х4
1/2
-1
0
х1
0
1
0
х2
2
-1
-1
1
52
-4
-8
х1
-4
-14
-7
х3
-8
-7
-5
Так как элементы первой строки нижней части таблицы, стоящие на пересечении с U-ми отсутствуют, а элементы, стоящие на пересечении с Х-ми столбцами, кроме первого, отрицательны, следовательно, решение является оптимальным.
Для того, чтобы убедиться в верности полученного решения произведем проверку, подставив полученные значения в начальные условия задачи.
Ответ:
,
