2.2.2 Решение задачи методом ветвей и границ
Итерация 1. .
Задача №1 - исходная задача (2.26-2.27) со снятым требованием целочисленности. Перепишем решение из таблицы 1.11.
Таблица 2.55
БП |
СЧ |
Коэффициенты |
||||||
х1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
||
х5 |
2 1/3 |
0 |
-2 |
0 |
-2 |
1 |
-1 1/3 |
2/3 |
х1 |
3 2/3 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1/3 |
-2/3 |
x3 |
1 2/3 |
0 |
-1 |
1 |
-1 |
0 |
-2/3 |
1/3 |
Y |
-50 |
0 |
2 |
0 |
5 |
0 |
2 |
4 |
Переменная х3 не удовлетворяет
требованию целочисленности и значение
целевой функции больше, чем найденное
до этого оптимальное
.
Наложим ограничения на переменную x3:
(2.33)
(2.34)
Добавим ограничение (2.33) к ограничениям Задачи №1 и сняв требования целочисленности получим Задачу №2. Аналогично для ограничения (2.34) получим Задачу №3. Исключим Задачу №1 из основного списка и вместо неё добавим Задачу №2 и Задачу №3. Итерация 1 завершена.
Итерация 2 .
Выберем задачу из основного списка (Задача №2, Задача №3).
Решаем Задачу №2.
Приведём ограничение (2.33) к каноническому виду и представим в форме Куна-Таккера:
(2.34)
Перепишем таблицу 2.55, добавив в базис (2.34).
Таблица 2.55
БП |
СЧ |
Коэффициенты |
|||||||
х1 |
x2* |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
||
х5 |
-1 |
0 |
0 |
-2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
х6 |
-7 |
-1 |
1 |
-2 |
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
x7* |
-9 |
-2 |
-1 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
х8 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Y |
0 |
10 |
4 |
8 |
-3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Решаем задачу двойственным симплекс-методом. Задача имеет решение. Выводим из базиса . Вводим в базис . Результат отображен в таблице 2.56
Таблица 2.56
БП |
СЧ |
Коэффициенты |
|||||||
х1* |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
||
х5 |
-1 |
0 |
0 |
-2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
х6* |
-16 |
-3 |
0 |
-3 |
3 |
0 |
1 |
1 |
0 |
x2 |
9 |
2 |
1 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
х8 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Y |
-36 |
2 |
0 |
4 |
1 |
0 |
0 |
4 |
0 |
Решаем задачу двойственным симплекс-методом. Задача имеет решение. Выводим из базиса . Вводим в базис . Результат отображен в таблице 2.57
Таблица 2.57
БП |
СЧ |
Коэффициенты |
|||||||
х1 |
x2 |
x3* |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
||
х5 |
-1 |
0 |
0 |
-2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
х1 |
5 1/3 |
1 |
0 |
1 |
-1 |
0 |
-1/3 |
-1/3 |
0 |
x2* |
-5/3 |
0 |
1 |
-1 |
1 |
0 |
2/3 |
-1/3 |
0 |
х8 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Y |
-46 2/3 |
0 |
0 |
2 |
3 |
0 |
2/3 |
4 2/3 |
0 |
Решаем задачу двойственным симплекс-методом. Задача имеет решение. Выводим из базиса . Вводим в базис . Результат отображен в таблице 2.58
Таблица 2.58
БП |
СЧ |
Коэффициенты |
|||||||
х1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7* |
x8 |
||
х5 |
2 1/3 |
0 |
-2 |
0 |
-2 |
1 |
-4/3 |
2/3 |
0 |
х1 |
3 2/3 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1/3 |
-2/3 |
0 |
x3 |
5/3 |
0 |
-1 |
1 |
-1 |
0 |
-2/3 |
1/3 |
0 |
х8* |
-2/3 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
2/3 |
-1/3 |
1 |
Y |
-50 |
0 |
2 |
0 |
5 |
0 |
2 |
4 |
0 |
Решаем задачу двойственным симплекс-методом. Задача имеет решение. Выводим из базиса . Вводим в базис . Результат отображен в таблице 2.59
Таблица 2.59
БП |
СЧ |
Коэффициенты |
|||||||
х1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
||
х5 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
2 |
х1 |
5 |
1 |
-1 |
0 |
-2 |
0 |
-1 |
0 |
-2 |
x3 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
х7 |
2 |
0 |
-3 |
0 |
-3 |
0 |
-2 |
1 |
-3 |
Y |
-58 |
0 |
14 |
0 |
17 |
0 |
10 |
0 |
12 |
Решение задачи удовлетворяет требованию целочисленности для переменной х3 и значение целевой функции больше, чем найденное до этого оптимально . На данной итерации найдено новое оптимально целочисленное решение. Последующие значения целевой функции будут сравниваться с найденным на итерации 2. Исключим Задачу №2 из основного списка. Итерация 2 завершена.
Итерация 3
.
Выберем задачу из основного списка (Задача №3).
Решаем Задачу №3.
Приведём ограничение (2.34) к каноническому виду и представим в форме Куна-Таккера:
(2.36)
Перепишем таблицу 2.55, добавив в базис (2.36).
Таблица 2.60
БП |
СЧ |
Коэффициенты |
|||||||
х1 |
x2* |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
||
х5 |
-1 |
0 |
0 |
-2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
х6 |
-7 |
-1 |
1 |
-2 |
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
x7* |
-9 |
-2 |
-1 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
х8 |
-2 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Y |
0 |
10 |
4 |
8 |
-3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Решаем задачу двойственным симплекс-методом. Задача имеет решение. Выводим из базиса . Вводим в базис . Результат отображен в таблице 2.61
Таблица 2.62
БП |
СЧ |
Коэффициенты |
|||||||
х1* |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
||
х5 |
-1 |
0 |
0 |
-2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
х6* |
-16 |
-3 |
0 |
-3 |
3 |
0 |
1 |
1 |
0 |
x2 |
9 |
2 |
1 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
х8 |
-2 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Y |
-36 |
2 |
0 |
4 |
1 |
0 |
0 |
4 |
0 |
Решаем задачу двойственным симплекс-методом. Задача имеет решение. Выводим из базиса . Вводим в базис . Результат отображен в таблице 2.63
Таблица 2.63
БП |
СЧ |
Коэффициенты |
|||||||
х1 |
x2 |
x3* |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
||
х5 |
-1 |
0 |
0 |
-2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
х1 |
5 1/3 |
1 |
0 |
1 |
-1 |
0 |
-1/3 |
-1/3 |
0 |
x2 |
-5/3 |
0 |
1 |
-1 |
1 |
0 |
2/3 |
-1/3 |
0 |
х8* |
-2 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Y |
-46 2/3 |
0 |
0 |
2 |
3 |
0 |
2/3 |
4 2/3 |
0 |
Решаем задачу двойственным симплекс-методом. Задача имеет решение. Выводим из базиса . Вводим в базис . Результат отображен в таблице 2.64
Таблица 2.64
БП |
СЧ |
Коэффициенты |
|||||||
х1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
||
х5 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
-2 |
х1 |
31/3 |
1 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
-1/3 |
-1/3 |
1 |
x2 |
1/3 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
2/3 |
-1/3 |
-1 |
х3 |
2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
Y |
-502/3 |
0 |
0 |
0 |
3 |
0 |
2/3 |
42/3 |
2 |
Решение задачи удовлетворяет требованию целочисленности для переменной х3 и значение целевой функции больше, чем найденное до этого оптимально . На данной итерации найдено новое оптимально целочисленное решение. Последующие значения целевой функции будут сравниваться с найденным на итерации 3. Исключим Задачу №3 из основного списка. Итерация 3 завершена.
Список задач пуст. Блок-схема решения задачи представлена на рисунке 2.2.
Ответ: оптимальное решение задачи
получено на итерации 3:
,
Рисунок 2.2 - Схема решения частично целочисленной задачи методом ветвей и границ.