3.4 Решение задачи сепарабельным симплекс методом

Используя выбранные точки можно преобразовать нелинейные ограничения и нелинейную ЦФ к кусочно-линейному виду. К ограничениям также добавятся ограничения, обеспечивающие свойство весов смежных точек. В итоге получим задачу линейного программирования.

Максимизировать ЦФ вида:

(3.25)

При ограничениях (к ограничениям добавляем переменные S₁, S₂ – для приведения к каноническому виду, также вводим искусственные переменные S₃, S₄, S₅, S₆, S₇, S₈, S₉, S₁₀, S₁₁ и λ):

(3.26)

Теперь решим задачу линейного программирования:

Минимизировать ЦФ:

, при ограничениях указанных выше.

(3.27)

Приведем ее к форме Таккера:

(3.28)

Откуда получаем:

(3.29)

Оптимизируем полученную искусственную целевую функцию. Находим оптимальное оптимально значение целевой функции (3.25) с условие соблюдения правила ограниченного ввода в базис (в базис могут быть введены только по 2 переменные U, V, W, Z). Все этапы решения приведены в приложении А.

Получен следующий результат:

U = (1; 0; 0; 0; 0; 0 ; 0; 0; 0; 0),

V = (0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 1),

W = (0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1), (3.30)

Z = (1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0),

Для получение окончательного ответа необходимо подставить в формулы (3.23) полученные выше значения.

Ответ: ,

3.5 Анализ полученных результатов.

Сравним решения в пункте 3.2 и 3.4. В данном случаи решения совпадают и погрешность вычисления сепарабельным симплекс метолом равна 0.

Стоит подробнее остановиться на том, почему так получилось. Как известно, неточности сепарабельного симплекс метода заключаются в неточной аппроксимации целевой функции. Следовательно, можно сделать вывод, что, если все значения переменных попадут точно в точки, сектой которых была аппроксимирована целевая функция, то сепарабельный симплекс метод даст точное решение.

В приведённом выше примере, значения переменных попали в граничные значения аппроксимации функций. Это видно из решения и ответа . Таким образом, при любом количестве точек аппроксимации больше 1, мы бы получили точное решение.

Целевая функция (3.1) не является сепарабельной, однако её можно свести к сепарабельному виду, проанализировав ограничения задачи (3.2). Так как есть ограничения, наложенные только на 1 переменную, то это ограничение можно взять в качестве интервала анализа. Второе ограничение, взяв его в качестве равенства, можно использовать как уравнение связи:

(3.31)

где к – произвольный коэффициент из отрезка .

Выберем к=1 и построим график целевой функции (3.1) с подстановкой (3.31) – Рисунок 3.5.

Рисунок 3.5 - График функци

Данный график характеризует влияние значения переменной х₁ на значение целевой функции, при фиксированном х₂. Функция, приведённая на графике, монотонно убывает на рассматриваем отрезке (х₁ может принимать значения только из данного отрезка), следовательно при значении х₁=0 функция достигает своего максимума.

Так как х₁=0, то и х₁х₂=0, следовательно целевая функция (3.1) принимает вид:

(3.32)

Функция (3.32) является сепарабельной и проводить линеаризацию не требуется.