Введение

В наше время, всё человечество находиться на такой стадии развития, что дальнейший прогресс связан с огромными затратами ресурсов. Не каждая страна или крупная корпорация может позволить себе вести исследования в передовых областях науки. Примером таких исследований служит освоение космоса, создание реактора ядерного синтеза и изучение короткоживущих элементарных частиц. Очевидно, что ошибка в проекте может привести к провале всего начинания. Ресурсы, затраченные на проект, также не являются бесконечными. В такой обстановке большое влияние на успех всего оказывает процессы моделирования и оптимизации. Теории, позволяющей оптимизировать любое выражение, не существует, однако для определённых видов выражений построен математический аппарат, позволяющий найти оптимум.

В данной курсовой работе приведены примеры решения фундаментальных задач оптимизации наиболее распространенными методами.

1. Линейное программирование

1.1 Решение задачи 1.1

Максимизировать целевую функцию:

(1.1)

При ограничениях:

(1.2)

Нужно привести систему ограничений к каноническому виду. Для этого следует добавить дополнительные переменные и . При этом необходимо учесть ограничения .

(1.3)

В форме Куна-Таккера:

(1.4)

На основании целевой функции и полученных ограничений можно составить симплекс-таблицу (Таблица 1.1).

Таблица 1.1

БП	СЧ	Коэффициенты
		x1*	х2­	x3	x4	x5	x6
x4*	-6	-1	-2	0	1	0	0
х5	-2	1	-2	2	0	1	0
x6	-2	-2	-1	-1	0	0	1
Y	0	-1	12	-10	0	0	0

Так как есть свободные члены меньше 0 в таблице 1.1, то следует применить двойственный симплекс-метод. Выводим из базиса переменную , так как в это строке минимальный свободный член. Задача имеет решение так как в строке есть отрицательные коэффициенты. Вводим в базис . Результат отображен в таблице 1.2

Таблица 1.2

БП	СЧ	Коэффициенты
		х1	x2*	x3	x4	x5	x6
х1	6	1	2	0	-1	0	0
х5*	-8	0	-4	2	1	1	0
x6	10	0	3	-1	-2	0	1
Y	6	0	14	-10	-1	0	0

Так как есть свободные члены меньше 0 в таблице 1.2, то следует применить двойственный симплекс-метод. Выводим из базиса переменную . Задача имеет решение так как в строке есть отрицательные коэффициенты. Вводим в базис . Результат отображен в таблице 1.3

Таблица 1.3

БП	СЧ	Коэффициенты
		х1	x2	x3*	x4	x5	x6
х1*	2	1	0	1	-1/2	1/2	0
х2	2	0	1	-1/2	-1/4	-1/4	0
x6	4	0	0	1/2	-1 1/4	3/4	1
Y	-22	0	0	-3	2 1/2	3 1/2	0

Так как все свободные члены больше 0 в таблице 1.3, то следует применить прямой симплекс-метод. Вводим в базис , так как коэффициент в строке целевой функции отрицательный и наименьший. Задача имеет решение так как целевая функция ограничена по вводимой переменной (в столбце есть положительные коэффициенты). Выводим из базиса , так как отношение свободного члена к положительному коэффициенту в столбце для строки наименьшее. Результат отображен в таблице 1.4

Таблица 1.4

БП	СЧ	Коэффициенты
		х1	x2	x3	x4	x5	x6
х3	2	1	0	1	-1/2	1/2	0
х2	3	1/2	1	0	-1/2	0	0
x6	3	-1/2	0	0	-1	1/2	1
Y	-16	3	0	0	1	5	0

В столбце свободных членов и в строке коэффициентов отсутствуют отрицательные элементы, следовательно полученный план оптимален. Произведём проверку, подставив полученные значения для переменных в начальные условия и убедившись в их верности, выписываем ответ.

Ответ: , .