Свойства математического ожидания.

1. , ;

2. для каждой случайной величины Х и произвольного С;

3. – для произвольных случайных величин.

Свойство 3 позволяет найти , не зная закона распределения случайной величины .

4.

;

5. если случайных величин имеют одинаковое распределение, то

6. Две случайные величины называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.

– для независимых случайных величин.

Модой дискретной случайной величины называется такое возможное значение , для которого . Таким образом, мода дискретной случайной величины есть ее наиболее вероятное значение, если это значение единственно. Мода может не существовать, иметь единственное значение (унимодальное распределение) или иметь множество значений (мультимодальное распределение).

Модой непрерывной случайной величины с плотностью называется то ее значение , при котором функция достигает максимума.

Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение , для которого одинаково вероятно, окажется ли с.в. Х меньше или больше , то есть для выполняется равенство или иначе . (Рис.34).

Рисунок 34. График функции распределения непрерывной случайной величины с отмеченной на нём медианой.

Поскольку уравнение может иметь несколько корней (в случае, если кусочно-непрерывна), то медиана определяется неоднозначно.

Медиана дискретной случайной величины находится на отрезке , границы которого определяются условиями: , . Точное положение медианы устанавливается формулой .

Квантилью порядка (или уровня) р непрерывной случайной величины Х называется действительное число х_р, удовлетворяющее уравнению . Таким образом, х_р является решением уравнения . В частности, из определения медианы следует, что .

Пусть Х – дискретная случайная величина с законом распределения, представленным таблицей 3. Дисперсией дискретной случайной величины Х называется число , где – математическое ожидание случайной величины Х.

Пусть Х – непрерывная случайная величина, а – ее функция плотности. Дисперсией непрерывной случайной величины Х называется число (если этот интеграл сходится), где – математическое ожидание случайной величины Х.

Два определения дисперсии случайной величины можно объединить следующим образом: дисперсия случайной величины Х есть математическое ожидание случайной величины : . То есть дисперсия является мерой рассеяния значений случайной величины вокруг ее математического ожидания.

Используя свойства математического ожидания. Можно получить еще одну формулу для вычисления дисперсии: .

для дискретной случайной величины: ;

для непрерывной случайной величины: .

Свойства дисперсии.

1. , ;

2. для любой случайной величины Х и любой постоянной С;

3. для любой случайной величины Х и любой постоянной С;

4. только для независимых случайных величин Х и Y.

если случайные величины независимы, то:

5. если случайных величин имеют одинаковое распределение, то

Средним (стандартным) квадратическим отклонением случайной величины Х называют квадратный корень из DX: . так же, как и DX применяется для оценки рассеяния случайной величины вокруг ее математического ожидания, но дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности Х, а размерность среднего квадратического отклонения совпадает с размерностью Х.

Свойства среднего квадратического отклонения.

1. .

2. .

3. 

4. для независимых случайных величин Х и Y.

Пусть Х – дискретная или непрерывная случайная величина. Начальным моментом k-го порядка называют математическое ожидание случайной величины , т.е.

или

Очевидно, что .

Центральным моментом k-го порядка называют математическое ожидание случайной величины , т.е. . Центральные моменты вычисляются по формулам : или ;

, .