Введение
Данное учебное пособие « Прямая и плоскость в пространстве» ориентировано на подготовку студентов специальности 230115 Программирование в компьютерных системах.
Специалист данной отрасли должен владеть аналитическим мышлением, рациональными приёмами моделирования математического программного обеспечения, уметь использовать математические знания в будущей практической работе.
Данное учебное пособие состоит из трех разделов, каждый из которых содержит значительный объём теоретического материала по базовым знаниям модуля ЕН.01.М.06 «Аналитическая геометрия в пространстве».
Вместе с тем оно имеет практическую направленность, в него включены типовые задачи и даются методы их решения. Это помогает студентам ориентироваться в решении всех основных типов задач на основе логического исследования, выявления проблем и поисков их решения.
Рассматриваются задания разных уровней трудности и широкой вариативности. Этим обеспечивается уровневый характер учения студентов, их постепенная адаптация в освоении содержания учебных элементов УЭ.06.02 « Плоскость» и УЭ.06.03 « Прямая в пространстве»
По данным элементам в пособии даны выводы основных уравнений плоскости и прямой в пространстве, представлены образцы решения типовых задач и задачи для самостоятельного решения. Задачи для самостоятельного решения выделены жирным шрифтом. Тексты задач представлены в таблице 1.
Таблица 1
№ |
Условия задачи |
Ответ |
1 |
Составить
уравнение плоскости α, проходящей
через точку N(2,-2,0)
перпендикулярно вектору
|
|
2 |
Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки: А(1, -6, 7), В(4,5,-3) и С(3,0,2) |
|
3 |
Найти расстояние между параллельными плоскостями
|
|
4 |
Составить
уравнение плоскости, проходящей через
начало координат и точки:
|
|
5 |
Составить
уравнение плоскости
|
|
6 |
Составить
уравнение плоскости
,
проходящей через точку
|
|
7 |
Составить
уравнение плоскости
,
проходящей через ось OZ
и точку
|
|
:
А(5,0,1), В(3,2,-2)
и
,
проходящей через точки
и
параллельно вектору
параллельно плоскости
:
Продолжение таблицы 1
8 |
Написать уравнение
плоскости
,
проходящей через точку
|
|
9 |
Вычислить объём
пирамиды, ограниченной плоскостью
|
8 (куб.ед.) |
10 |
Составить уравнение прямой проходящей через точку M(-1,2,0)
параллельно вектору
|
|
11 |
Канонические
уравнения прямой
|
|
12 |
Составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки А(0;1;-2) и В(-3;4;-1) |
|
13 |
Составить
уравнения прямой, проходящей через
точку пересечения плоскости
|
|
15 |
В треугольнике АВС: А(1;-2;4), В(3;1;3), С(5;1;-7). Составить каноническое уравнение высоты из вершины В |
|
16 |
Привести к каноническому виду общее уравнение прямой
|
|
16.1 |
Привести к каноническому виду общее уравнение прямой
|
|
17 |
Найти координаты
точки пересечения прямой
|
|
17.1 |
Найти точку
пересечения прямой
с
плоскостью
|
(6;4;5) |
19 |
Найти проекцию
точки
|
|
19.1 |
Составить
уравнение перпендикуляра к плоскости
|
(4; -2; -1) |
и
перпендикулярно плоскости
и координатными плоскостями
записать параметрическими уравнениями
с осью OX,
перпендикулярно плоскости
с плоскостью
на плоскость
,
проходящего через точку А(3;-6;7), и найти
координаты основания этого перпендикуляра
Продолжение таблицы 1
20 |
Найти проекцию
точки
|
|
21 |
Найти расстояние от точки до прямой |
|
22 |
Доказать, что
прямые, заданные уравнениями:
|
|
23 |
Составить уравнение плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые: ; , , . |
|
24 |
Доказать,
что прямые
|
|
25 |
Составить
уравнение плоскости, проходящей через
точку
|
|
25.1 |
Найти расстояние
от точки
|
точка М лежит в плоскости |
26 |
Составить
уравнение прямой, которая проходит
через точку
|
|
27 |
Написать уравнение
плоскости, проходящей через точку
|
|
28 |
Найти расстояние между скрещивающимися прямыми:
|
|
29 |
Найти проекцию
точки
|
|
на
прямую
;
,
,
,
пересекаются
и
,
,
параллельны, и составить уравнение
плоскости
,
проходящей через данные прямые.
и прямую
до плоскости, проходящей через прямую
и
точку
перпендикулярно вектору
и пересекает прямую
,
перпендикулярной плоскости
и параллельной прямой
,
на плоскость, проходящую через
параллельные прямые:
,
;
;
Окончание таблицы 1
30 |
Доказать, что
прямые
|
|
31 |
Найти проекцию
точки
|
|
32 |
Составить
уравнение плоскости, проходящей через
точку
|
|
33 |
Составить
уравнение плоскости, проходящей через
начало координат, параллельно прямой
|
|
34 |
Составить
уравнение плоскости, проходящей через
прямую
|
|
35 |
Составить
уравнение прямой, проходящей через
точку пересечения прямой
|
|
36 |
Составить
уравнение прямой, проходящей через
проекцию точки
на плоскость
|
|
37 |
Найти расстояние
от точки
|
|
38 |
Написать
уравнение перпендикуляра, опущенного
из точки
|
|
;
;
и
;
;
лежат в одной плоскости и составить
её уравнения
на прямую
;
;
,
перпендикулярно к прямой
и перпендикулярно к плоскости
;
;
параллельно прямой
с плоскостью
и точку
и точку пересечения данной плоскости
с осью OY.
до плоскости, проходящей через
;
;
и параллельно прямой
на прямую
Данное пособие способствует повышению интереса к самостоятельной творческой, интеллектуальной деятельности. На это направлена и сама структура пособия. Базовые знания по учебным элементам УЭ.06.02, УЭ.06.03 систематизированы, представлены в виде структурных схем и алгоритмов, что помогает студентам легко анализировать условия задачи, делать постановку задачи и т.д. Дана таблица базовых уравнений, формул и понятий
(приложение А)
Работая с данным пособием, студенты имеют возможность наглядно представлять, воспринимать и осознавать логику взаимосвязей в математике.
Учебно-методическое пособие может быть использовано студентами при выполнение практических работ 18, 19 «Составление уравнений плоскостей и прямых в пространстве», самостоятельной работы студента 17, 18