2.12 Взаимное расположение прямых

Прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться.

Пусть прямые и заданы своими каноническими уравнениями:

Структурная схема 3

Замечание По схеме 4 устанавливается взаимное расположение прямых в пространстве.

Задача 22 Доказать, что прямые, заданные уравнениями: ;

, , , пересекаются.

Решение

Рассмотрим , тогда , ;

, , , тогда , .

1 Найдём смешанное произведение векторов , ,

Смешанное произведение равно 0, значит вектора , , компланарны, т.е. лежат в одной плоскости.

Найдём векторное произведение , :

Имеем: , , значит (Схема 4)

Раздел 3 Дополнительные уравнения плоскости

3.1 Уравнение плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые

Алгоритм 5

Уравнение плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые

Дано:

________________________________

Составить уравнение плоскости α:

Решение

Выполним схематичный чертеж (рис. 22)

Рис.22

1 Выберем одну из точек или , через которые проходят прямые , и которые лежат в плоскости α.

Возьмем точку

2 Найдем нормальный вектор плоскости .

Тогда имеем

3 Подставим координаты точки и вектора в «основное» уравнение (1) плоскости, получим

Задача 23 Составить уравнение плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые:

; , , .

Решение

1 Выберем одну из точек или , через которые проходят прямые , и которые лежат в плоскости α.

Возьмем точку (рис.29)

2 Найдем нормальный вектор плоскости .

,

3 Подставим координаты точки и вектор в уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору , получим

,

.

Ответ:

3.2 Уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые

АЛГОРИТМ 6 Уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые Дано: ________________________________ Составить уравнение плоскости α: Решение Выполним схематичный чертеж (рис.22) Рис. 22 1 Выберем одну из точек или , через которые проходят прямые , и которые лежат в плоскости α. Возьмем точку 2 Найдем нормальный вектор плоскости . Тогда имеем : . . 3 Подставим координаты точки и вектора в «основное» уравнение (1) плоскости, получим

Задача 24 Доказать, что прямые и , , параллельны, и составить уравнение плоскости , проходящей через данные прямые.

Решение

1 Рассмотрим направляющие векторы прямых , :

,

2 Выберем одну из точек или , через которые проходят прямые , и которые лежат в плоскости α.

Возьмем точку (рис.28)

3 Найдем нормальный вектор плоскости .

Тогда имеем : .

3 Подставим координаты точки и вектора в уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору , получим

,

.

Ответ: