2.10 Проекция точки на плоскость

АЛГОРИТМ 3 Проекция точки на плоскость Дано: α: , _______________________ Найти проекцию точки на плоскость α. Решение Выполним схематичный чертеж (рис. 20 ) Рис.20 Спроектируем точку на плоскость , обозначим проекцию , тогда 1 Составим уравнение прямой : Т.к. прямая перпендикулярная плоскости , то за направляющий вектор можно взять нормальный вектор плоскости . Тогда . Подставим координаты точки и вектора в канонические уравнения прямой, получим . 2 Найдем координаты : Т.к. воспользуемся алгоритмом 2

Задача19 Найти проекцию точки на плоскость

Решение

,

1Составим уравнение прямой .

Прямая перпендикулярная плоскости, тогда нормальный вектор данной плоскости будет являться направляющим вектором искомой прямой.

Составим уравнение :

2 Найдем точку пересечения прямой с плоскостью :

Воспользуемся алгоритмом 2. Запишем уравнение прямой в параметрическом виде и решим совместно с уравнением плоскости

, ,

, ,

Ответ:

Выполните самостоятельно

Задача 19.1 Составить уравнение перпендикуляра к плоскости , проходящего через точку А(3;-6;7), и найти координаты основания этого перпендикуляра.

Замечание. Основание перпендикуляра, проведенного из точки А является проекцией точки А на плоскость .

Ответ: (4; -2; -1)

2.11 Проекция точки на прямую

АЛГОРИТМ 4 Проекция точки на прямую Дано: _______________________________________ Найти проекцию точки на прямую l Решение Замечание. Проекцией точки на прямую l является точка , полученная пересечением прямой l с плоскостью α , проходящей через точку перпендикулярно прямой l (рис. 21) Рис.21 1 Составим уравнение плоскости α. 1.1 Точка . 1.2 Т.к. прямая , то за нормальный вектор плоскости α можно взять направляющий вектор прямой l: 1.3 Составим уравнение плоскости α, получим 2 Найдем точку пересечения прямой l с плоскостью α по алгоритму 2.

Задача 20 Найти проекцию точки на прямую

Решение

1 Составим уравнение плоскости α, проходящей через точку перпендикулярно прямой l (рис. 21 )

1. Точка .

2. Т.к. прямая , то за нормальный вектор плоскости α можно взять направляющий вектор прямой l:

1.3 Составим уравнение плоскости α:

2 Найдем , как точку пересечения прямой l с плоскостью α по алгоритму 2.

Запишем уравнение прямой в параметрическом виде:

Подставим значения х, у,z в уравнение плоскости и найдем t.

2. Найдем координаты точки .

Подставим значение t в уравнения (*),получим:

Ответ:

Следствие 1 Расстояние от точки до прямой находится, как длина отрезка между точкой и её проекцией на прямую.

Задача 21 Найти расстояние от точки до прямой

Решение

1Найдем (см. задачу 8), .

2 Расстояние от точки до прямой l найдем, как длину отрезка между точкой и её проекцией на прямую : .

Ответ: