- •Введение
- •Программа государственного экзамена для специальности ми, мия Алгебра
- •1. Бинарные отношения. Отношение эквивалентности и разбиение множества на классы эквивалентности. Отношение порядка. Фактор-множество.
- •2. Группы, подгруппы, изоморфизм и гомоморфизм групп. Примеры и простейшие свойства.
- •3. Сравнимость элементов группы по подгруппе. Нормальный делитель группы. Фактор-группа.
- •4. Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства колец. Подкольцо. Идеалы кольца.
- •5. Кольцо целых чисел. Теорема о делении с остатком в кольце целых чисел. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух целых чисел.
- •6. Поле, простейшие свойства полей. Примеры полей. Поле рациональных чисел. Расширения поля.
- •7. Поле комплексных чисел. Геометрическое представление комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая форма комплексного числа.
- •8. Матрицы и определители.
- •10. Линейные операторы. Примеры и матричное представление. Матрицы линейных операторов в различных базисах. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
- •11. Простые и составные числа. Бесконечность множества простых чисел. Каноническое разложение составного числа.
- •12. Сравнимость целых чисел по числовому модулю. Кольцо классов вычетов. Сравнения и их основные свойства. Полная и приведённая система вычетов.
- •13. Линейные сравнения с одним неизвестным. Различные методы их решения. Теоремы Эйлера и Ферма.
- •14. Кольцо многочленов от одной переменной. Делимость в кольце многочленов.
- •15. Приводимые и неприводимые многочлены над различными полями.
- •16. Корни многочлена. Теорема о количестве комплексных корней многочлена. Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами.
- •Литература
- •Геометрия
- •Пространство е3. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Приложения к решению задач.
- •Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости, двух прямых в пространстве (в аналитическом изложении).
- •Группа движений (перемещений) плоскости. Классификация движений. Приложения движений к решению задач.
- •Определение преобразования подобия плоскости. Группа преобразования подобия и ее подгруппы. Приложения преобразований подобия к решению задач.
- •Группа аффинных преобразований плоскости и ее подгруппы. Приложение аффинных преобразований к решению задач.
- •Проективная плоскость и ее модели. Группа проективных преобразований. Приложения к решению задач.
- •Изображения плоских и пространственных фигур в параллельной проекции. Позиционные и метрические задачи.
- •Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства, ее непротиворечивость.
- •Многоугольники. Площадь многоугольника. Теорема существования и единственности. Равновеликость и равносоставленность.
- •Топологическое пространство. Топологическое многообразие. Эйлерова характеристика двумерного многообразия. Теорема Эйлера для многогранников.
- •Линии и поверхности в е3. Первая основная квадратичная форма поверхности и ее приложения.
- •Литература:
Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства, ее непротиворечивость.
Общая характеристика аксиоматики Вейля: основные понятия и группы аксиом. Определение непротиворечивости системы аксиом. Метод доказательства непротиворечивости. Доказательство непротиворечивости аксиоматики Вейля. Определение основных фигур и отношений школьной геометрии средствами аксиоматики Вейля.
[2] §77, 78, 79, 81; [4] раздел 4 § 5-8; [6] §44, 45.
Многоугольники. Площадь многоугольника. Теорема существования и единственности. Равновеликость и равносоставленность.
Понятие простого многоугольника. Определение площади многоугольника. Теорема существования и единственности площади простого многоугольника. Вычисление площадей прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции. Различные формулы для площади треугольника. Определения равносоставленности и равновеликости многоугольников. Теорема Бояи – Гервина.
[2] §88, 89; [4] раздел 4 § 14-16; [6] §65.
Топологическое пространство. Топологическое многообразие. Эйлерова характеристика двумерного многообразия. Теорема Эйлера для многогранников.
Определение топологического пространства. Примеры топологических пространств. Определение n – мерного топологического многообразия. Клеточное разложение многообразия. Определение эйлеровой характеристики компактного двумерного многообразия. Теорема Эйлера для многогранников. Существование пяти типов правильных многогранников.
- 11 -
[2] § 36, 39-43; [4] раздел 5 § 1-8; [6] §80.
Линии и поверхности в е3. Первая основная квадратичная форма поверхности и ее приложения.
Определения простого куска линии, общей линии. Параметрические уравнения линии в пространстве. Определение гладкой линии. Определение простого куска поверхности, общей поверхности. Параметрические уравнения поверхности. Определение гладкой поверхности. Первая квадратичная форма поверхности: вывод, свойства коэффициентов, приложения. Определение внутренней геометрии поверхности. Полная кривизна поверхности. Теорема Гаусса.
[2] § 49, 50, 54, 55, 57-59, 61, 62; [4] раздел 5 § 11, 15, 17-20; [6] § 73, 76-79.
Литература:
Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. М.: Просвещение, 1986. Ч.1.
Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. М.: Просвещение, 1987. Ч. 2.
Базылев В.Т., Дуничев К.И., Иваницкая В.П. Геометрия. М.: Просвещение, 1974. Ч. 1.
Базылев В.Т., Дуничев К.И. Геометрия. М.: Просвещение, 1975. Ч. 2.
Атанасян Л.С., Гуревич В.Т. Геометрия. М.: Просвещение, 1973. Ч. 1.
Атанасян Л.С., Гуревич В.Т. Геометрия. М.: Просвещение, 1976. Ч. 2.
Редактор Е. Р. Красильникова План университета 2010 г., поз.
Подписано к печати формат 60 х 90 1/16
Бумага типографская. Уч.-изд.л. Усл.печ.л.
Усл.кр. – отт Печать оперативная Тираж 100 экз.
Заказ №
Ротапринт Ульяновского государственного педагогического университета
имени И.Н. Ульянова