- •Введение
- •Программа государственного экзамена для специальности ми, мия Алгебра
- •1. Бинарные отношения. Отношение эквивалентности и разбиение множества на классы эквивалентности. Отношение порядка. Фактор-множество.
- •2. Группы, подгруппы, изоморфизм и гомоморфизм групп. Примеры и простейшие свойства.
- •3. Сравнимость элементов группы по подгруппе. Нормальный делитель группы. Фактор-группа.
- •4. Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства колец. Подкольцо. Идеалы кольца.
- •5. Кольцо целых чисел. Теорема о делении с остатком в кольце целых чисел. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух целых чисел.
- •6. Поле, простейшие свойства полей. Примеры полей. Поле рациональных чисел. Расширения поля.
- •7. Поле комплексных чисел. Геометрическое представление комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая форма комплексного числа.
- •8. Матрицы и определители.
- •10. Линейные операторы. Примеры и матричное представление. Матрицы линейных операторов в различных базисах. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
- •11. Простые и составные числа. Бесконечность множества простых чисел. Каноническое разложение составного числа.
- •12. Сравнимость целых чисел по числовому модулю. Кольцо классов вычетов. Сравнения и их основные свойства. Полная и приведённая система вычетов.
- •13. Линейные сравнения с одним неизвестным. Различные методы их решения. Теоремы Эйлера и Ферма.
- •14. Кольцо многочленов от одной переменной. Делимость в кольце многочленов.
- •15. Приводимые и неприводимые многочлены над различными полями.
- •16. Корни многочлена. Теорема о количестве комплексных корней многочлена. Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами.
- •Литература
- •Геометрия
- •Пространство е3. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Приложения к решению задач.
- •Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости, двух прямых в пространстве (в аналитическом изложении).
- •Группа движений (перемещений) плоскости. Классификация движений. Приложения движений к решению задач.
- •Определение преобразования подобия плоскости. Группа преобразования подобия и ее подгруппы. Приложения преобразований подобия к решению задач.
- •Группа аффинных преобразований плоскости и ее подгруппы. Приложение аффинных преобразований к решению задач.
- •Проективная плоскость и ее модели. Группа проективных преобразований. Приложения к решению задач.
- •Изображения плоских и пространственных фигур в параллельной проекции. Позиционные и метрические задачи.
- •Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства, ее непротиворечивость.
- •Многоугольники. Площадь многоугольника. Теорема существования и единственности. Равновеликость и равносоставленность.
- •Топологическое пространство. Топологическое многообразие. Эйлерова характеристика двумерного многообразия. Теорема Эйлера для многогранников.
- •Линии и поверхности в е3. Первая основная квадратичная форма поверхности и ее приложения.
- •Литература:
Группа движений (перемещений) плоскости. Классификация движений. Приложения движений к решению задач.
Определение преобразования движения. Движение первого и второго рода. Формулы движений плоскости. Свойства движений. Движения плоскости частного вида (параллельный перенос, осевая симметрия, поворот, скользящая симметрия): определения, формулы, свойства. Группа движений, подгруппы движений. Теоремы о классификации движений. Сведение движений к осевым симметриям. Задача на приложение движений.
[1] §39-44, 51; [3] раздел 1, §24-29, 35; [5] §28-31, 33.
Определение преобразования подобия плоскости. Группа преобразования подобия и ее подгруппы. Приложения преобразований подобия к решению задач.
Определение преобразования подобия. Частные виды подобия: гомотетия, движение. Гомотетия: определение, формулы, свойства. Теорема о представлении подобия в виде произведения гомотетии и движения. Аналитическое выражение преобразований подобия. Группа подобий и ее подгруппы. Задача на применение подобия.
[1] §39, 40, 46, 47, 51; [3] раздел 1 § 24, 25, 31, 32, 35; [5] §28-31, 33.
Группа аффинных преобразований плоскости и ее подгруппы. Приложение аффинных преобразований к решению задач.
Определение аффинной системы координат на плоскости. Определение аффинного преобразования плоскости, задание аффинного преобразования, его формулы. Свойства аффинных преобразований. Группа аффинных преобразований и ее подгруппы. Задача на применение аффинных преобразований.
[1] §48, 50, 51; [3] раздел 1 §24, 25, 34, 35.
Проективная плоскость и ее модели. Группа проективных преобразований. Приложения к решению задач.
Перспективное соответствие между плоскостью и связкой. Определение расширенных прямой, плоскости, пространства. Модели проективной плоскости. Принципы двойственности. Теоремы Дезарга. Определение проективного преобразования проективной плоскости. Группа проективных преобразований. Приложение проективных теорем к решению задач на построение одной линейкой.
[2] § 1, 4, 7, 8, 11, 13, 25; [4] раздел 3 § 1, 4, 7, 8, 9, 14, 22; [6] § 1- 4, 11, 14, 16, 27.
Изображения плоских и пространственных фигур в параллельной проекции. Позиционные и метрические задачи.
Параллельное проектирование. Свойства параллельного проектирования. Изображение плоских фигур в параллельной проекции (треугольник, четырехугольник, правильный n-
- 10 -
угольник, круг). Изображения правильных треугольника и четырехугольника, вписанных в окружность. Изображения пространственных фигур (призма, пирамида, цилиндр, конус, шар) в параллельной проекции. Полные и неполные изображения фигур. Пример решения позиционной или метрической задачи на плоском изображении.
[2] §26-33; [4] раздел 3 §28-29, 31-34; [6] § 38, 40, 41.
Плоскость Лобачевского. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского. Непротиворечивость системы аксиом плоскости Лобачевского.
Проблема V постулата Евклида и ее решение. Аксиоматика геометрии Лобачевского. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского. Параллельные и сверх параллельные прямые на плоскости Лобачевского и их свойства. Требования непротиворечивости системы аксиом. Метод доказательства непротиворечивости. Доказательство непротиворечивости системы аксиом плоскости Лобачевского.
[2] §67-70, 73, 75, 79, 80, 92; [4] раздел 4 §2, 4, 10, 12, 23-25, 28; [6] §53, 54, 58, 59, 63, 67, 71.