- •Введение
- •Программа государственного экзамена для специальности ми, мия Алгебра
- •1. Бинарные отношения. Отношение эквивалентности и разбиение множества на классы эквивалентности. Отношение порядка. Фактор-множество.
- •2. Группы, подгруппы, изоморфизм и гомоморфизм групп. Примеры и простейшие свойства.
- •3. Сравнимость элементов группы по подгруппе. Нормальный делитель группы. Фактор-группа.
- •4. Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства колец. Подкольцо. Идеалы кольца.
- •5. Кольцо целых чисел. Теорема о делении с остатком в кольце целых чисел. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух целых чисел.
- •6. Поле, простейшие свойства полей. Примеры полей. Поле рациональных чисел. Расширения поля.
- •7. Поле комплексных чисел. Геометрическое представление комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая форма комплексного числа.
- •8. Матрицы и определители.
- •10. Линейные операторы. Примеры и матричное представление. Матрицы линейных операторов в различных базисах. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
- •11. Простые и составные числа. Бесконечность множества простых чисел. Каноническое разложение составного числа.
- •12. Сравнимость целых чисел по числовому модулю. Кольцо классов вычетов. Сравнения и их основные свойства. Полная и приведённая система вычетов.
- •13. Линейные сравнения с одним неизвестным. Различные методы их решения. Теоремы Эйлера и Ферма.
- •14. Кольцо многочленов от одной переменной. Делимость в кольце многочленов.
- •15. Приводимые и неприводимые многочлены над различными полями.
- •16. Корни многочлена. Теорема о количестве комплексных корней многочлена. Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами.
- •Литература
- •Геометрия
- •Пространство е3. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Приложения к решению задач.
- •Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости, двух прямых в пространстве (в аналитическом изложении).
- •Группа движений (перемещений) плоскости. Классификация движений. Приложения движений к решению задач.
- •Определение преобразования подобия плоскости. Группа преобразования подобия и ее подгруппы. Приложения преобразований подобия к решению задач.
- •Группа аффинных преобразований плоскости и ее подгруппы. Приложение аффинных преобразований к решению задач.
- •Проективная плоскость и ее модели. Группа проективных преобразований. Приложения к решению задач.
- •Изображения плоских и пространственных фигур в параллельной проекции. Позиционные и метрические задачи.
- •Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства, ее непротиворечивость.
- •Многоугольники. Площадь многоугольника. Теорема существования и единственности. Равновеликость и равносоставленность.
- •Топологическое пространство. Топологическое многообразие. Эйлерова характеристика двумерного многообразия. Теорема Эйлера для многогранников.
- •Линии и поверхности в е3. Первая основная квадратичная форма поверхности и ее приложения.
- •Литература:
4. Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства колец. Подкольцо. Идеалы кольца.
4.1. Понятие кольца. Примеры. Понятие коммутативного кольца и кольца с единицей.
4.2. Простейшие свойства колец (достаточно доказать одно свойство).
4.3. Понятие подкольца. Примеры. Критерий подкольца.
4.4. Изоморфизм и гомоморфизм колец. Свойства изоморфизмов (достаточно доказать одно из свойств).
[1] гл. 3 § 4; [2] § 43, 44, 46; [3] § 40.
- 5 -
5. Кольцо целых чисел. Теорема о делении с остатком в кольце целых чисел. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух целых чисел.
5.1. Определение кольца целых чисел, делимости целых чисел. Свойства делимости. Теорема о делении с остатком для целых чисел.
5.2. Определение наибольшего общего делителя (НОД) двух целых чисел. Алгоритм Евклида и пример его применения для вычисления НОД.
5.3. Наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел. Теорема о связи НОД и НОК. Другие способы вычисления НОД и НОК.
[1] гл. 4 § 4, гл. 11 § 2, 3; [5] гл. 3.
6. Поле, простейшие свойства полей. Примеры полей. Поле рациональных чисел. Расширения поля.
6.1. Понятие поля. Примеры. Поле рациональных чисел. Понятие подполя. Критерий подполя.
6.2. Простейшие свойства полей (необходимо привести доказательства не менее двух свойств).
6.3 Изоморфизм полей.
[1] гл. 4 § 5; [2] § 45, 46, [3] § 40; [4] гл. 5 § 2 – 3.
7. Поле комплексных чисел. Геометрическое представление комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая форма комплексного числа.
7.1. Определение поля комплексных чисел. Теорема об алгебраической форме комплексного числа. Арифметические действия над комплексными числами в алгебраической форме. Примеры.
7.2. Геометрическое представление комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Геометрическая интерпретация сложения и вычитания комплексных чисел.
7.3. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение, деление, возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме. Извлечение корня. Примеры. [1] гл. 4 § 7, 8; [2] § 17 – 19; [3] § 2 – 4.
8. Матрицы и определители.
8.1. Матрицы. Операции над матрицами (сложение, умножение на число, умножение). Свойства операций. Матричная алгебра.
8.2. Понятие определителя, минора, алгебраического дополнения. Различные методы вычисления определителей (правило треугольника, разложение по строке или столбцу, приведение к треугольному виду). Свойства определителей.
8.3. Обратная матрица. Теорема о единственности. Формула для вычисления. Критерий обратимости.
[1] гл. 6 § 1 – 3, 5; [2] § 4 – 6, 13 – 15; [3] § 26, 29 – 30, 38 – 39; [4] гл. 4 § 1.
- 6 -
9. Системы линейных уравнений. Понятие о частном и общем решении. Равносильность систем. Классификация систем по количеству решений. Теорема Кронекера – Капелли. Способ Гаусса решения систем линейных уравнений.
9.1. Понятие о системе линейных уравнений, общем и частном решении системы. Совместные, несовместные, определённые, неопределённые системы.
9.2. Элементарные преобразования систем линейных уравнений. Теорема об элементарных преобразованиях, применяемых к системе линейных уравнений.
9.3. Решение системы линейных уравнений способом Гаусса (способом последовательного исключения переменных). Три возможных случая. Теорема Кронекера-Капелли.
[1] гл. 5 § 2, 3; [2] § 11; [3] § 34.