26. Конечно-разностные уравнения. Понятие явной схемы
Уравнение, описывающее процесс фильтрации флюидов в пористой среде это сложное нелинейное уравнение, которое связывает изменение во времени давления и насыщенности в пористой среде.
Аналитическими методами решить невозможно, поэтому получить результат можно только численными методами решения. При этом результаты получают в дискретных точках системы. С помощью метода конечных разностей выполняется преобразование непрерывных дифференциальных уравнений к дискретному виду.
При этом дискретируется как пространство так и время. Для этого пространство или область разделяются на ряд ячеек, квадратов или блоков путем наложения сетки определенного типа.
Уравнение распределения температуры в одномерном стержне :
Решая это уравнение, можно получить значение функции Т(х;t)
Соответственное распределение температур при любом положении х в любое время t.
Значение t=0 соответствует различным временным уровням. Информация на данном временном уровне (t=1) используется для вычислений на более высоком уровне (t=2). Имеется 2 основных способа перехода от значения на прежнем уровне времени к значениям на новом уровне. Новое значение функции можно вычислить индивидуально для каждой точки по координате х.
Такая схема вычисления новых величин называется явной. В этом случае используется последовательное решение однго уравнения с одним неизвестным. В другом случае, все новые значения между граничными точками х=0 и х=L, можно вычислить одновременно для заданного уровня времени. Схема одновременного вычисления называется неявной.
Для решения в явной схеме определяем одно неизвестное в каждый момент времени
Дифференциальное уравнение в конечно-разностной системе
Данное уравнение имеет только одно неизвестное Pi n+1 Для получения нового значения давления уравнение можно привести к явному виду используя в нем соседние величины давления.
При моделировании процесса разработки месторождений явные схемы используются редко.
27 Конечно-разностные уравнения. Понятие не явной схемы.
При использовании неявной схемы все величины определяются одновременно
=
(1)
Если
в явном виде была 1 неизвестная, то для
неявного получаем ур-е с 3-мя неизвесными.
Это уравнение содержит члены соответствующие всем неизвестным Значение давления на новом временном уровне.
Умножим
(1) на
и сгруппируем подобные члены
)
+
аiPi-1-biPi+ciPi+1=di Где аi,bi,ci- Коэфф. учитывающие геометрию системы и её физ. свойства
Записав данное уравнение для n ячеек линейной сетки и объединив уравнения для каждой ячейки, получим n уравнений с n неизвестными.
Ячейки с номерами 0 и n+1 фиктивные и в модели они заменяются соответствующим г.у. Данную систему из n уравнений мы можем записать в матричном виде. в матрице имеется 3 диоганальных элемента и все элементы, находящиеся на диагонали равны 0. Данная матрица называется 3х диагональной.
[
аi-bici]*[Pi]=[di]
Для двумерной модели принцип составления схемы такой же
ДУ
+
=
Записываем конечноразностн. схему для двумерной модели
+
=
Для двумерной модели также можно записать ур-ния в общем виде:
lN
aN
+
bN
+
cN
+
fN
=
dN
[lN aN- bN cN fN]*[Pi]=[dN]