22. Основные уравнения фильтрации многофазного флюида.

Уравнения фильтрации для каждой фазы составляется также как и для однородных флюидов. Нефть. Основное уравнение выводится также с учетом объединений уравнений (уравнения состояния, движения,…). При одномерном течении нефтяной фазы: , A=∆y∆z, V=∆x∆y∆z

ГАЗ в свободном объеме растворяется в нефти и воде

Вода общее уравнение нестационарной фильтрации описывающий течение Н, Г,В, в пористой среде можно получить путем объединения ур. фильтрации отдельных фаз.

24 Многокомпонентные системы

Многокомпонентная (композиционная) модель позволяет рассматривать достаточно сложные процессы фильтрации в нефтегазоконденсатных пластах с учетом межфазного массообмена отдельными компонентами.

Рассмотрим элемент пласта, в котором движется 3 фазы, содержащие N видов хим. соединений.

Рассмотрим уравнение сохранения массы для одного компонента

Пусть С_нj- доля массы j-го компонента в нефти

С_гj- доля массы j-го компонента в газе

С_вj- доля массы j-го компонента в воде

Это уравнение описывает процесс фильтрации одного компонента в одномерной системе без источников и стоков

Общее уравнение для N видов компонентов:

=

25. Составление конечно-разностных уравнений. Первая и вторая производная

Основная идея любого приближенного метода, аппроксимации—замена исходной задачи другой, более легкой, решение которой в определенном смысле близко к решению исходной задачи. В ка

честве простого примера рассмотрим уравнение AU=d²U/dx²-q(x)=0 (0<x<L) где U(0)=U(L)=0. (3.5)

П ри конечно-разностном методе вместо определения непрерывной достаточно гладкой функции U(x), которая удовлетворяет условию (3.5), находим лишь приближенные значения U для конечного множества отдельно взятых точек х1, х2, . . . , Хn в интервале (О, L). Точки xi называют сеточными точками или узлами сетки. Дифференциальное уравнение заменяется системой алгебраических уравнений, связывающих значения ы,- и xi для всех узлов сетки. Эти: уравнения называют «конечно-разностными». Таким образом, задача решения дифференциального уравнения сводится к решению алгебраических уравнений. Если можно показать, что решение дискретной задачи близко к решению исходной, это означает, что*

величины щ аппроксимируют истинное решение Ui=U(xi) в узлах сетки Xi. Процесс получения конечно-разностных уравнений, аппроксимирующих данное дифференциальное уравнение, называется, дискретизацией. Метод разложения в ряд Тейлора: Рассмотрим равномерную сетку с узлами Хо, Х1, . . . , Хn+1 при хо=О, XN+1=L И шагом h, определяемым следующим образом: h=xi+1— xi=L/(N+l).

При разложении в ряд Тейлора Ui+1 и Ui-1 no Ui получим:(3.7)

С помощью указанных разложений можно получить несколько разностных аппроксимаций для U'i и одну для U"i. Решаем уравнение (3.7) относительно U'i

В уравнении (3.9) выражение (Ui+i—Ui)/h — аппроксимация производной U'i разностью «вперед». Она получена в предположении,что Ri мала. Аналогично, преобразуя уравнение (3.8), получим

В уравнении (3.11) выражение (Ui—Ui=1)/h — аппроксимация производной U'i разностью «назад», a Rbi — локальная погрешность дискретизации для аппроксимации разностью «назад». Аппроксимация производной U'i «центральной» разностью получена при вычитании (3.8) из (3.7):

До сих пор рассматривалась только первая производная. Аппроксимация для второй производной получается путем сложения уравнений (3.7) и (3.8):

В уравнении (3.15) аппроксимация «центральной» разностью для U"i

R²i — соответствующий остаточный член. В уравнении (3.17) Δ² —линейный оператор.

В качестве примера рассмотрим дифференциальный оператор А, заданный уравнением (3.5). Используя аппроксимацию производной «центральной» разностью, получим

где qi=q(xi). Сравнивая это выражение с уравнением (3.6), видим, что