2. Начальные и граничные условия

Диф. Уравн. В частных производных описывают только механизм переноса, конкретно же протекание процесса определяется исходным состоянием рассматриваемого объекта и его взаимодействием с внешней средой. т.е. диф. уравн. дополняется начальными и граничными условиями, количество которых определяется типом уравнения, а их вид задан исходным состоянием и состоянием на границе объекта и внешней среды. Для рассматриваемых уравнений количество начальных условий равно порядку старшей производной по времени, а количество граничных условий – порядку старшей производной по координате. Для уравнения параболического тип необходимо задать одно начальное и два граничных условия. Для уравнения гиперболического типа необх. задать 2 начальных и 1 гранич. Условия. Задача определения функции удовлетворяющей уравнению в частных производных, а также дополнительно начальным и граничным условиям называется краевой задачей для этого уравнения.

10. Краевые, граничные и начальные условия. Диф. Уравнения в частных производных описывают механизм явления переноса. Конкретно же протекание процесса определяется исходным состоянием рассматриваемого объекта и его взаимодействием с внешней средой, т.е. диф/уравнения дополняются нач. и граничными условиями. Наличие которых определяется типом уравнения, а их вид заданным исходным состоянием и состоянием на границе объекта и внешней среды.

Для рассматриваемых уравнений количество нач. условий равно порядку старшей производной по времени, а количество гран. Условий порядку старшей производной по координате. Для уравнений параболического типа необходимо задать по 2 нач. и гранич. Условия. Задача определения функции, удовлетворяющей условию в частных производных, а также дополнительным нач. и гран. Условиям, называется краевой задачей для этого уравнения.

11 Простейшие задачи, приводящие к уравнениям различных типов.

1. М алые колебания струны и стержня. Рассмотрим натянутую круглую струну, концы которой расположены в точках х=0, х=l. Пусть u(x,t) смещение поперечного направления точки струны с координатой х в момент времени t/ Силы инерции опр-ся массой струны, силой трения, сопротивления воздуха и внутр.трением в материале струны. Пренебрегая трением для описания малых колебаний струны. Используем урав-е вида (1)

, таким же урав-ем опис-ся малые продольные колебания упругого стержня с концами х=0,х=l, если ч/з u(x,t) обозначить продольное смещение точки стержня с координатой х в момент времени t. Для реш-я урав-ия (1) его неох. Дополнить 2-мя нач. усл-ями. В качестве таковых зададим: 1) нач смещение 2) нач. скорость стенок струны

2. процессы диффузии и теплопроводность. Пусть дан тонкий однородный стержень с концами в точках х=0, х=l. Боковая поверхность стержня теплоизолирована, если ч/з T(x,t) обозначить темп-ру стержня в точке х в момент времени t, то тепловой поток опр-ся законом Фурье. , Где q-поток тепла ч/з единицу площади; λ-коэф.теплопроводности материала стержня. Из аналогии (4) с законом Дарси ( ) следует, что процесс теплопроводности также опис-ся урав-ем : ; , χ-коэф.температуропроводности, опр-ся в зав-ти от материала стержня

Растворенное вещ-во диффузирует в растворе заключенном между плоскостями х=0, х=l. Если С(x,t) концентрация вещ-ва, то поток вещ-ва в направлении оси х опр-ся законом Эрнеста: (6), где D-коэф.диффузии; , Урав-ие (5) и (7) параболич. типа, поэтому требуются задание лишь 1-го нач. усл-я. В случае с теплопроводностью: соответственно нач. концентрация

3 . типы граничных условий. Все рассмотренные выше урав-ия требуют задания 2-х гранич. Усл-ий в зав-ти от конкретной ситуации могут быть использованы след-ие модели гранич. Усл-ий: 1) гранич. Усл-ие 1го рода – задается закон изм-ия фнк на границе , 2) гранич. Усл-ие 2го рода –на границе задается закон изм-ия производной по координате х , 3) гранич. усл-ие 3его рода – сумма самой фнк и 1ой производной ,

4. корректность постановки краевой задачи. Кравевая задача для урав-ия в частных производных поставлена корректно: 1)если сущ-ет решение этой задачи; 2) это решение единственно; 3) решение задачи устойчиво относительно малых изменений в данных задачах , гранич. усл-ие u(0,t)=0, u(l,t)=t (12) Тогда общее урав-ие (11) будет иметь вид , Где -некот. Произвольные фнк. , . Таким образом никакое решении не удовлетв. гранич усл-ям (12) из этого делаем вывод, что задача поставлена некорректно.

12. Типы граничных условий

Все рассматриваемые ур-я требуют задания 2х г.у. В зав-ти от конкретной ситуации могут быть исп.след.модели г.у.:

1.Г.у. 1рода. Задается изм. Функции на границе U(0;t)=ϕ₁(t) C(l;t)=ϕ₂(t)

2.Г.у. 2рода. На границе задается з-н изм.производной по корд. Х. dU(0;t)=ν₁(t) dx(l;t)=ν₂(t)

3.Г.у. 3рода= 1+2.

13. Корректность постановки краевой задачи

Краевая задача для уравнения в частных производных поставлена корректна, если:

1) существует решение этой задачи

2) единственное решение

3) решение устойчиво от малых изменений данных задачи

Пример:

(1)

(2)

Если сравнить (1) с , получим общее решение:

Т.о. никакое решение в (1) не удовлетворяет гран.усл-ям (2).Значит задача поставлена не корректна!

14. Автомодельное решение уравнений параболического типа

Рассмотрим нефтяную залежь

Нефть из продуктивного пласта отбирается в т. X0=0 через эксплуатационные скважины, которые образуют ряд 1.

Если скважины расположены часто, можно считать, что отбор нефти производится на всей линии 1. Которая в данном случае на-ся галереей. Движущей силой процесса является напор вод, расположенных за контуром нефтеносности 2 (x=L). Будем считать, что P на контуре 2 , поддерживается за счет напора контурных вод постоянным и равным Pк. При t<0, давление во всех точках пласта одинаково и равно Pк. Пуск галереи в эксплуатацию, производится при t=0 снижением давления на забоях скважин до значения Pc<Pк.

1 Закрепления Р в пласте при t1=1. 2 При t2>t1. 3 При t3>t2. 4 Стационарное распределение давления

Требуется определить, как изменится распределение давления в пласте, а ткаже оъем нефти q, отбираемый за ед. времени из галереи. Объем жидкости, отбираемый за ед. времени, через ед. площади сечения пласта выражается через скорость фильтрации в т.x=0,

V(o;t)=-1/μ1*dP(0;t)/dx ; Q=hb|v(0;t)| (*)

Проведем качественный анализ процессов происходящих после пуска галереи в эксплуатацию.

В начальный период эксплуатации график зависимости p(x) хар-ся значительной крутизной вблизи т. X=0 согласно ур-ию (*) это ведет к значительным большим дебитам Q(t).

За счет быстрого отбора нефти из пласта давление в его нефтеносной части уменьшается, что ведет к уменьшению наклона кривой P(x) вблизи X=0. При достаточно значительной эксл-ии галереи в условиях, когда Pc и Pк постоянны в пласте устанавливается стационарное распределение давления dp/dt=0, что приводит к ур-ию d²p/dx²=0. Граничными условиями P(0;t)=Pc; P(l;t)=Pk. Решая данное ур-ие с использованием всех граничных условий получаем P=Pc+(Pk-Pc)/L*x. Дебит галереи в стационарных условиях: Q=bh/μ*(Pk-Pc)/b.

; 0<x<бесконечность; t>0. Начальные условия P(x;0)=Pk; 0<x<беск. Граничные условия P(0;t)=Pc; при t>0.

Заменяем U=(Pk-P)/(Pk-Pc), относительно фнк U. Найдем безразмерную комбинацию:ψ=x(ϰ^s)*(t^q). Ψ=-x/((ϰt)^0.5). Решая ДУ, заня ψ, мы получим:

dr ; r=ψ/2 ; U(ψ)=Ф(w) – фнк ошибок.

Решение называется автомодельным.