7. Теорема о частных решениях уравнения в частных производных и отличие от общих решений обыкновенных дифференциальных уравнений.

Теорема:

Если U₁, U₂,…U_n частное решение линейного однородного уравнения в частных производных, то любая функция вида U=C₁U₁+C₂U₂+…+C_nU_n= .Так же является решением этого уравнения(С_i – произвольная постоянная)

Пример1

Рассмотрим уравнение в частных производных

(2)

U-неизвестная фнк

Уравнение (2) параболического типа, 2-го порядка. Проверим, что частное решение этого уравнения является фнк U(x,t)=Ate^x , где А производная постоянная

1. = Ae^x ; =Ate^x ;

tAte^x – Ate^x=0 ; t=1

2. U(x,t) = Bsin ; =Bcos (-1) ; =Bcos ;

Согласно теореме сумма двух фнк будет является решением данного уравнения (2)

Пример 2

Рассмотрим уравнение первого порядка

=t (3)

U(x,t)= (4)

Легко проверить что (4) удовлетворяет уравнению (3), где производная функция от х , поэтому фнк (4) по аналогии с общим решением обыкновенных диф уравнений называется общим решением уравнения (3)

Пример 3

U= ; f(t)=

где

Тогда получим:

U=f(t) + (6)

Это уравнение (6) определяет общее решение уравнения (5)

Т.о общее решение уравнения в частных производных содержит произвольные фнк(в отличии от общих решений обыкновенных диф. уравнений содержащих произвольное постоянное)

8 Принцип составления уравнений в частных производных применительно к движению жидкостей в трубах. Уравнение неразрывности. Уравнение движения.

Рассмотрим принципы составления уравнений в частных производных применительно движения жидкостей в трубах и пористых средах.

Пусть жидкость движется в трубке радиуса R

Обозначим через U среднюю скорость движения жидкость в направлении оси X.

W=ρU- поток массы ч/з ед. площади сечения и если жидкость сжимаема то масса жидкости м/у сечениями 1 и 2 меняется за время Δt на величину:

ΔM=W'SΔt-W''SΔt=-ΔWSΔt

ΔM=ΔρSΔx

-ΔMSΔt=ΔρSΔx

переходя к пределу при Δx→0, Δt→0 получаем уравнение

-уравнение неразрывности

Обычно плотность меняется незначительно поэтому ,

Запишем теперь для элемента жидкости заключенного м/у сеч. 1 и 2 второй закон Ньютона:

;

сила вязкого трения о стенки трубы которая пропорциональна скорости потока и боковой поверхности элемента жидкости

Переходя к пределу Δх→0 и обозначая через

уравнение движения

9. Метод аналогии при моделировании процессов переноса

1. Выбор модели процесса переноса

математические формулировки физических законов различных по своей природе процессов переноса – движение жидкости, распространение тепла, распространение упругих, звуковых, электромагнитных волн, поэтому качественный вид моделей процессов можно установить пользуясь этими аналогиями и моделями, при этом производится анализ соотношения между силами инерции и силами соотношения. Если силы в равной мере влияют на процесс, то модель процесса переноса будет иметь вид уравнения гиперболического типа:

Если силы инерции пренебрежимо малы по сравнению с силами трения, как при фильтрации, то уравнение переноса будет параболического типа: ,

– коэф. Пьезопроводности,

Если можно пренебречь силами трения, то моделью процесса переноса служит модель гиперболического типа:

Например, движение маловязких нефтей.