46. Понятие аттрактора
Аттра́ктор — компактное подмножество фазового пространства динамической системы, все траектории из некоторой окрестности которого стремятся к нему при времени, стремящемся к бесконечности.
Первая хаотическая система, обнаруженная Лоренцом, точно соответствует механическому устройству - водяному колесу, которое может вести себя удивительно сложным образом. Модель водяного колеса - это обод большого размера, сидящий на валу. На ободе по окружности подвешены восемь черпаков с отверстиями внизу. Черпаки, проходя под водяным потоком, наполняются в зависимости от того, насколько быстро вращается колесо. При быстром вращении им не хватает времени, чтобы наполниться. Кроме того, оказалось, что емкости могут начать двигаться в обратную сторону, не заполнившись водой. Оказалось, что в течение длительного времени вращение может менять свое направление несколько раз, никогда не достигая постоянной скорости и никогда не повторяясь каким-либо предсказуемым образом.
Движение данной системы описывалось тремя уравнениями с тремя переменными X, Y, Z.
Классификация:
Точечный Аттрактор;
Циклический (Круговой) Аттрактор;
Аттрактор Торас;
Странный Аттрактор.
47 Применение фрактальных характеристик для контроля и управления технологическими процессами
Случайные колебания возникающие в технологической системе часто имеют детерминированный характер. Они порождаются самой системой и поэтому могут служить источником информации ее внутренней характеристике. В частности о состоянии объекта управления можно судить по оценкам размерности странного аттрактора. Еще одно возможное применение фрактальных характеристик в технической диагностике связано с тем. Что графики временных рядов замеров снятых при нормальной работе объектов управления часто имеют фрактальную структуру. Исходя из этого предожим использовать фрактальные характеристики временных рядов замеров-размерность Хаусдорфа и показатель Херсона. В качестве диагностических примеров определяющих состояние объекта управления часто графики временных рядов замеров оказываются фрактальными. В количественном смысле такие кривые хар-ся размерностью Хаусдорфа (Pн), которая может быть определена путем покрытия кривых прямоугольниками с уменьшающимися сторонами Ea*Eb. Подсчитав число прямоугольников N(E) необходимых для покрытия кривой рассматривают зависимость N(E) по y; от E по x.
Выделим из каждой выборки Xk;Xk+1;Xk+m-1 содержащей m последовательных замеров. Определим по каждому из этих массивов размах Rk=Emax-Emin, где Emax=max(Σ(xk+1+j-Mk)). Mk - среднее по выделенному массиву значение x; Mk=1/m*∑(Xk+j-1) Рассмотрим приведенное значение размаха, осредненного по всем массивам объема N.
r-число массивов объема m; Sk – стандартное отклонение, H – показатель Херстона, определяется по углу наклона кривой. Для хаотических сигналов при отсутствии долговременной статистической корелляции H=0,5. При наличии некоторого запаздывания показатель H увеличивается, причем для большинства природных процессов H=0,7,,0,8.