Кручение

Кручение представляет вид нагружения бруса, при котором в его попе-

-речных сечениях возникает крутящий момент Мz. Кручение прямого

бруса осуществляется путём нагружения его внешними парами, пло-

-скость действия которых перпендикулярна оси бруса.

Рис.1 А.

Крутящий момент в поперечном сечении бруса, согласно методу сечений,

равен алгебраической сумме моментов внешних пар, действующих по одну сторону от сечения ( на отсеченную часть бруса). Тогда для схемы бруса ( рис.1А) , если рассматривать левую от заданного сечения часть бруса в любом сечении участка «АВ» Mz(ab) = - 4 M (рис 1В).

Знак крутящего момента определяется так: если наблюдатель находится

со стороны внешней нормали к сечению и видит крутящий момент, на-

-правленным против часовой стрелки, момент будет положительным.

На практике пользуются более простым правилом: если наблюдая со сто-

-роны любого торца бруса мы видим первый по счету крутящий момент направленным против часовой стрелки, то и соответствующий

крутящий момент на первом участке будет положительным. Вычислим

крутящие моменты на остальных участках ( рис 1В):

Mz(bc) =- 4 M +9 M = 5 M;

Mz(cd) = - 4 M +9 M – 2 M =3 M.

Знаки, с которыми припасовываются дальнейшие внешние моменты при

переходе к следующему участку, определяются так: если «новый» момент

совпадает по направлению с первым, то он берется с тем же знаком,

что и первый. Под схемой бруса приведена эпюра крутящих моментов.

Напряженное состояние чистый

Деформация элемента в виде прямоугольного параллелепипеда, на двух смежных гранях которого возникают только касательные напряжения наз. чистым сдвигом. Касательные напряжения, действующие по смежным граням равны по величине и оба направлены к общему ребру или от

ребра, что следует из условия равновесия параллелепипеда ( рис.2А ).

Мх = Т1bc)*a – Т2ab)*c = 0; откуда Т1= Т2= Т.

Этот закон называют законом парности касательных напряжений. Закон Гука при сдвиге устанавливает пропорциональность между угло-

-вой деформацией и касательным напряжением ( G – модуль сдвига).

Угловая деформация представляет собой изменение первоначально

прямого угла между гранями параллелепипеда:

Г = Т/G. (1)

Определим напряжения, возникающие в площадках, наклоненных к

исходным на угол равный 45 град. Из условия равновесия призмы

( рис. 2В), получим:

S*a/ Cos 45o - 2*T*Cos 45o = 0; S =T.

Таким образом в рассматриваемой площадке возникает нормальное на-

- пряжение (растяжение). В перпендикулярной площадке действует рав-

-ное по величине но противоположное по знаку напряжение (сжатие),

как показано на рис.2Г. Определим соотношение между модулем Юнга

и модулем сдвига. Для этого определим линейную деформацию в напра-

-влении диагональной плоскости для элемента в виде кубика ( рис.2Д).

e = T/E + v*T/E; ( v – коэффициент поперечной деформации).

Первое слагаемое является продольной деформацией, обусловленное

растяжением, а второе является поперечной деформацией, обусловлен-

- сжатием в перпендикулярном направлении.

Удлинение в диагональном направлении будет:

dL =e*a/ Cos 45o

Определим смещение верхней грани относительно нижней

t = dL/ Cos 45o = 2*T*a*(1 + v)/E

осталось определить угловую деформацию, с учетом малости угла Г.

Г = t/a =2*T*(1 +v)/ Е. (2)

Сопоставляя выражение (1) и (2) получим: G = E/ 2*(1 +v).

Рис.3.