9. Определение нормальных и касательных напряжений при изгибе.

При поперечном изгибе в сечении балки помимо изгибающего момента ( )возникает поперечная сила ( ). Поэтому в поперечном сечении при поперечном изгибе наряду с нормальными напряжениями ( ) возникают и касательные напряжения ( ).

На основании закона парности касательные напряжения возникают и в продольных сечениях балки. Вследствие этого при поперечном изгибе отмечаются сдвиги продольных слоев балки относительно друг друга.

При поперечном изгибе гипотеза плоских сечений нарушается, поскольку поперечные сечения балки искривляются (рис. 7.9).

Исследования показали: если балка является достаточно длинной, влияние искривления поперечного сечения на значения нормальных напряжений невелико, поэтому влиянием сдвигов на закон распределения нормальных напряжений при изгибе пренебрегают, формула нормальных напряжений при поперечном изгибе:  .

Проанализируем формулу Журавского:

Поперечная сила ( ) для конкретного сечения и момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси  являются постоянными величинами, поэтомукасательные напряжения изменяются по высоте поперечного сечения по тому же закону, что и отношение статического момента отсеченной части поперечного сечения ( ) к ширине поперечного сечения ( ), в котором они вычисляются.

Во всех точках поперечного сечения, расположенных на расстоянии y от нейтральной линии (по всей ширине сечения  ), касательные напряжения при поперечном изгибе одинаковы.

В самых удаленных от нейтральной оси точках поперечного сечения касательные напряжения при поперечном изгибе равны 0, поскольку в этом случае  .

Наибольшие касательные напряжения возникают в точках поперечного сечения, расположенных на нейтральной оси. Напомним, что в этих точках нормальные напряжения равны нулю

10. Сложное сопротивление. Косой изгиб. Изгиб с растяжением. Внецентренное сжатие (растяжение).

Под сложным сопротивлением подразумевают различные комбинации ранее рассмотренных простых напряженных состояний брусьев (растяжение, сжатия, кручения и изгиба)

В общем случае нагружения бруса в поперечном сечении могут действовать шесть компонентов внутренних сил -  ,  ,  ,  ,  ,  , связанных с четырьмя простыми деформациями стержня – растяжением (сжатием), сдвигом, кручением и изгибом.

При малых деформациях, подчиняющихся закону Гука, сложное напряженное состояние можно получить суммированием напряженных состояний, вызванных каждым видом простого нагружения.

Косым изгибом называется такой случай изгиба, когда плоскость, в которой располагается внешняя нагрузка (силовая плоскость), не совпадает ни с одной главной плоскостью балки (рис. 7.1, а). Пространственный изгиб создаётся внешними нагрузками, лежащими в обеих главных плоскостях балки (рис. 7.1, б).

 

 

Рис. 7.1. Косой (а) и пространственный (б) изгиб

Исходя из принципа независимости действия сил, нормальные напряжения в произвольной точке поперечного сечения балки при косом и пространственном изгибе вычисляют по формуле

 

 

где   – изгибающие моменты;   – моменты инерции площади поперечного сечения;   – координаты точки, в которой вычисляют напряжение.

Положение нейтральной оси определяется углом  , который она составляет с осью  : где a – угол наклона силовой плоскости к оси 

Деформация внецентренного растяжения возникает в стержне, нагружен­ном двумя равными по величине силами, действующими вдоль прямой, параллельной продольной оси z (рис. 7.3, а). Если направления сил поменять на противоположные, то возникнет деформация внецентренного сжатия.

Используя принцип независимости действия сил, нормальные напряжения в произвольной точке поперечного сечения вычисляют по формуле

 

,

которая после подстановки выражений внутренних усилий через внешнюю силу F и преобразований получает вид

 

,

 

где   – координаты точки приложения силы F;   – координаты точки, в которой вычисляют напряжение;   – радиусы инерции поперечного сечения.

Рассмотрим случай, когда внешние нагрузки создают продольную де­фор­­мацию стержня (растяжение или сжатие) и изгиб в двух главных плос­кос­тях стержня. Влиянием поперечных сил будем пренебрегать и учи­тывать только продольную силу N, изгибающие моменты М_х и М_y.

нормальные напря­жения в произвольной точке поперечного сечения с координатами (х, y)вычисляют по формуле

.

 

Нулевая линия (нейтральная ось), в точках которой нормальные напря­жения отсутствуют, не проходит через центр тяжести поперечного сечения, а отсекает на координатных осях отрезки (рис. 7.7), длины которых определяют по формулам:

 

.

 

Опасные точки – самые удалённые от нулевой линии.

Условия прочности составляют для опасных точек с координатами ( ):

,

 

где   – допускаемые напряжения на растяжение или на сжатие.